Enunciado

Dois discos deslizam sobre um plano horizontal sem atrito com velocidades de sentidos opostos e de mesma intensidade v 0 e batem de frente. Sabe-se que o disco A tem uma massa de 3   k g   e observa-se que ele tem velocidade nula após o impacto. Determine ( a ) a massa do disco B , sabendo que o coeficiente de restituição entre os dois discos é 0,5   e ( b ) a faixa de valores possíveis da massa de B se o coeficiente de restituição entre os dois discos é desconhecido.

Passo 1

Fala aí, galera. Beleza? Bora fazer mais um exercício. Primeiro, temos que determinar a massa do disco B quando o coeficiente de restituição e é 0,5 . Para isso, vamos começar utilizando a equação de conservação de momento linear, dada por:

m A v A + m B v B = m A v A ' + m B v ' B

Sabemos que v A = v B = v 0 e que a v A ' = 0 , vamos substituir:

3 v 0 - m B v 0 = 3 0 + m B v '

Isolando m B :

m B = 3 v 0 ( v ' + v 0 )                     ( 1 )

Em seguida, vamos utilizar a relação entre as velocidades iniciais e finais e o coeficiente de restituição a fim de encontrarmos uma segunda equação. Temos:

v B ' - v A ' = e v A - v B

Substituindo:

v ' - 0 = 0,5 0 v 0 - - v 0 v ' = v 0                     ( 2 )

Opa, galera temos um sistema linear de duas equações e duas incógnitas. Para resolver este sisteminha, vamos substituir a equação ( 2 ) na equação ( 1 ) . Fica assim:

m B = 3 v 0 v ' + v 0 m B = 3 v 0 v 0 + v 0 m B = 1,5   k g

Opa, encontramos a massa do disco B .

Passo 2

Em seguida, vamos para a segunda parte do problema. Nela, temos que encontrar a faixa de valores possíveis da massa de B se o coeficiente de restituição e entre os dois discos é desconhecido.

Para isso, vamos utilizar as mesmas relações que utilizamos no passo anterior. Pela conservação de momento linear sabemos que:

m B = 3 v 0 ( v ' + v 0 )                     ( 1 )

E então, vamos utilizar a relação entre as velocidades iniciais e finais e o coeficiente de restituição a fim de encontrarmos uma segunda equação. Temos:

v B ' - v A ' = e v A - v B

Desta vez e é desconhecido, portanto:

v ' - 0 = e v 0 - - v 0 v ' = 2 ( v 0 ) ∙ e                     ( 3 )

Com isso, para encontrarmos a faixa pedida, temos que resolver o sistema linear. Para isso, temos que substituir a equação ( 3 ) na equação ( 1 ) . Fica assim:

m B = 3 v 0 v ' + v 0 m B = 3 v 0 ( 2 ( v 0 ) ∙ e ) + v 0

Assim, a faixa m B vai ser:

m B = 3 2 e + 1

Isso é tudo, pessoal! Bora fazer mais questões para ficar craque.

Resposta

m B = 1,5   k g

m B = 3 2 e + 1

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