Enunciado

Os dois sinais de trânsito do Prob. 3/118 foram, agora, reposicionados de modo que o segmento B C do cabo de sustentação de 10,8   m tem 3   m de comprimento e está na horizontal. Especifique os comprimentos A B e C D necessários e as forças trativas em todos os três segmentos de cabo.

Passo 1

Vamos começar organizando as informações que foram dadas no enunciado, e outras que podemos deduzir pela geometria do desenho:

A B - + B C - + C D - = 10,8   m

A B - cos ⁡ α + B C - + C D - cos ⁡ γ = 10,5   m

A B - sen ⁡ α = C D - sen ⁡ γ

E essa última vem do fato de que a distância de A e de D até a linha pontilhada é igual.

Passo 2

Agora vamos montar algumas equações de equilíbrio para cada um dos pontos B e C .

Em B temos o seguinte par de equações:

∑ F x = - T A B cos ⁡ α + T B C = 0

∑ F y = T A B sen ⁡ α - P 1 = 0

E para o ponto C :

∑ F x = - T B C + T C D cos ⁡ γ = 0

∑ F y = T C D sen ⁡ γ - P 2 = 0

Passo 3

Vamos organizar isso em um sistema, lembrando que B C - = 3   m P 1 = 490,5   N e P 2 = 981   N .

A B - + C D - = 7,8 A B - cos ⁡ α + C D - cos ⁡ γ = 7 , 5 A B - sen ⁡ α = C D - sen ⁡ γ - T A B cos ⁡ α + T B C = 0 T A B sen ⁡ α = 490,5 - T B C + T C D cos ⁡ γ = 0 T C D sen ⁡ γ = 981

E lembre: esse é um problema feito para ser resolvido no computador, do contrário é quase impossível resolver esse sistema.

Uma boa ideia é usar um programa para calcular os ângulos α e γ numericamente:

α = 11,47 °

γ = 22,1 °

E então você pode dividir o problema em dois. Escolhe duas das três primeiras equações para encontrar A B - e C D - , e três das quatro últimas equações para encontrar T A B , T B C e T C D .

A B - + C D - = 7,8 A B - cos ⁡ 11,47 ° + C D - cos ⁡ 22,1 ° = 7,5

A B - = 5,1   m

C D - = 2,7   m

E para as trações:

T A B sen ⁡ 11,47 ° = 490,5 - T B C + T C D cos ⁡ 22,1 ° = 0 T C D sen ⁡ 22,1 ° = 981

T A B = 2467   N

T C D = 2607   N

T B C = 2416   N

Resposta

As forças são T A B = 2467   N , T C D = 2607   N , T B C = 2416   N e os comprimentos são A B - = 5,1   m e C D - = 2,7   m .

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