Enunciado

A haste uniforme tem comprimento l e peso W . Ela é apoiada em uma extremidade A por uma parede lisa e na outra extremidade por uma corda com comprimento s , presa à parede conforme mostra a figura. Determine a extensão h para que haja equilíbrio.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Nosso objetivo aqui é determinar a altura h máxima para que haja equilíbrio. Então, se estamos falando de equilíbrio, as equações abaixo são válidas.

∑ F = 0 ∑ M = 0

Para isto, é fundamental fazermos um diagrama de corpo livre identificando as forças aos quais estão submetidos!!! Então, o nosso diagrama de equilíbrio será:

Agora que já identificamos todas as reações, basta lembrarmos das relações de equilíbrio

Então, vamos as contas!

Passo 2

Para resolvermos esta questão, precisamos obter relações entre as forças (peso e tração) e entre os ângulos da geometria.

Vamos começar avaliando o equilíbrio pela soma dos momentos em torno do ponto A , pois assim eliminamos esta incógnita da nossa análise. Portanto,

∑ M R A = 0

- W ⋅ l 2 ⋅ sen ⁡ θ + T ⋅ cos ⁡ θ - ϕ ⋅ l ⋅ sen ⁡ θ - T ⋅ sen ⁡ θ - ϕ ⋅ l ⋅ cos ⁡ θ = 0

T sen ⁡ θ cos ⁡ θ - ϕ - sen ⁡ θ - ϕ cos ⁡ θ = W sen ⁡ θ 2

T sen ⁡ θ - θ - ϕ = W sen ⁡ θ 2

T sen ⁡ ϕ = W sen ⁡ θ 2

T = W sen ⁡ θ 2 sen ⁡ ϕ

A segunda relação de equilíbrio que iremos utilizar é: ∑ F y = 0 . Portanto,

∑ F y = 0

T cos ⁡ θ - ϕ = W

Só que nós sabemos que T = W sen ⁡ θ 2 sen ⁡ ϕ . Logo,

W sen ⁡ θ 2 sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ - ϕ = W

sen ⁡ θ cos ⁡ θ - ϕ = 2 sen ⁡ ϕ

E paramos por aqui.

Passo 3

Até agora nós obtivemos relações entre ângulos e entre forças, mas nada ainda que relacione os comprimentos h , l e s .

A nossa primeira relação para isto surge da lei dos senos. Ela nos diz que:

sen ⁡ ϕ h = sen ⁡ 180 - θ s

sen ⁡ ϕ h = sen ⁡ θ s ⟹ sen ⁡ ϕ = h s sen ⁡ θ

Só que, no final do Passo 2 não obtivemos que sen ⁡ θ cos ⁡ θ - ϕ = 2 sen ⁡ ϕ , então,

cos ⁡ θ - ϕ = 2 h s

Passo 4

Para finalizarmos a questão, vamos aplicar a lei dos cossenos ao nosso triângulo. Mas, antes disto, é importante percebermos que:

cos ⁡ ψ = cos ⁡ θ - ϕ

Portanto,

l 2 = h 2 + s 2 - 2 h s cos ⁡ θ - ϕ

cos ⁡ θ - ϕ = h 2 + s 2 - l 2 2 h s

E então,

h 2 + s 2 - l 2 2 h s = 2 h s

h 2 + s 2 - l 2 = 4 h 2

h = s 2 - l 2 3

E assim finalizamos a nossa questão!

Resposta

h = s 2 - l 2 3

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