Enunciado

O bastão uniforme de comprimento L e peso W é apoiado nos planos lisos. Determine sua posição θ para que haja equilíbrio. Desconsidere a espessura do bastão.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Precisamos determinar o ângulo θ para que haja equilíbrio. Antes de seguirmos, é importante lembrarmos que a reação de apoio a uma superfície lisa é uma força perpendicular a mesma.

Para isto, é fundamental fazermos um diagrama de corpo livre identificando as forças aos quais estão submetidos!!! Então, o nosso diagrama de equilíbrio será:

Agora que já identificamos todas as reações, basta lembrarmos das relações de equilíbrio

∑ F = 0 ∑ M = 0

Então, vamos as contas!

Passo 2

Nesta questão nós temos três incógnitas, as quais são: N A , N B e θ . Portanto, precisamos de um mesmo número de equações para solucionarmos o problema.

Logo, vamos utilizar as equações de equilíbrio ∑ F x = 0 , ∑ F y = 0 e ∑ M R A = 0 para montarmos o nosso sistema!

Começaremos então obtendo ∑ M R A = 0 . Portanto,

∑ M R A = 0

- W ⋅ L 2 ⋅ cos ⁡ θ + N B ⋅ cos ⁡ ϕ ⋅ L ⋅ cos ⁡ θ + N B ⋅ sen ⁡ ϕ ⋅ L ⋅ sen ⁡ θ = 0

N B = W cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ + s en ⁡ ϕ sen ⁡ θ

Utilizando a relação de soma de arcos, apenas para reorganizarmos a função acima, temos:

N B = W cos ⁡ θ 2 cos ⁡ ϕ - θ

N B = W cos ⁡ θ 2 cos ⁡ ϕ - θ

E assim descobrimos a nossa primeira equação!

Vamos determinar as nossas outras duas equações. Para isto, vamos fazer o somatório das forças nas direções x e y .

Desta forma, temos:

∑ F x = 0 ∑ F y = 0 ⟹ N A ⋅ sen ⁡ ψ - N B sen ⁡ ϕ = 0 N A ⋅ cos ⁡ ψ - W + N B cos ⁡ ϕ = 0

Passo 3

Pelas equações determinadas no Passo 2, chegamos ao seguinte sistema:

N B = W cos ⁡ θ 2 cos ⁡ ϕ - θ N A ⋅ sen ⁡ ψ - N B sen ⁡ ϕ = 0 N A ⋅ cos ⁡ ψ - W + N B cos ⁡ ϕ = 0

Agora, só nos resta resolvermos o sistema acima. Da terceira equação nós obtemos que:

N A = W - N B cos ⁡ ϕ cos ⁡ ψ

Substituindo a equação acima e N B = W cos ⁡ θ 2 cos ⁡ ϕ - θ na segunda equação do nosso sistema, obtemos:

N A ⋅ sen ⁡ ψ - N B sen ⁡ ϕ = 0

W - N B cos ⁡ ϕ cos ⁡ ψ ⋅ sen ⁡ ψ - W cos ⁡ θ 2 cos ⁡ ϕ - θ sen ⁡ ϕ = 0

W - W cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ 2 cos ⁡ ϕ - θ ⋅ tan ⁡ ψ - W cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ 2 cos ⁡ ϕ - θ = 0

2 cos ⁡ ϕ - θ - cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ tan ⁡ ψ - cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ = 0

Agora é só resolvermos a equação acima. Portanto,

2 cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ + 2 sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ - cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ tan ⁡ ψ - cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ = 0

cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ tan ⁡ ϕ + 2 sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ tan ⁡ ψ - cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ = 0

2 sen ⁡ ϕ tan ⁡ ψ sen ⁡ θ + cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ tan ⁡ ϕ - sen ⁡ ϕ = 0

tan ⁡ θ = sen ⁡ ϕ - cos ⁡ ϕ tan ⁡ ϕ 2 sen ⁡ ϕ tan ⁡ ψ

θ = arctan ⁡ sen ⁡ ϕ - cos ⁡ ϕ tan ⁡ ϕ 2 sen ⁡ ϕ tan ⁡ ψ

E assim finalizamos a nossa questão!

Resposta

θ = arctan ⁡ sen ⁡ ϕ - cos ⁡ ϕ tan ⁡ ϕ 2 sen ⁡ ϕ tan ⁡ ψ

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