Enunciado

O mastro de 400   k g , com centro de massa em G , é mantido na posição mostrada por uma rótula em O e por dois cabos A B e A C . Determine as forças trativas nos dois cabos e as componentes x , y e z da força de reação em O .

Passo 1

Vamos começar escrevendo as coordenadas do ponto A , para então podermos escrever os vetores unitários nas direções de A C e A B .

A = - O A - cos ⁡ 55 ° sen ⁡ 40 ° , - O A - cos ⁡ 55 ° cos ⁡ 40 ° , O A - sen ⁡ 55 °

E sabendo que O A - = 15   m :

A = - 5,53   ,   - 6,59   ,   12,3     m

E então, considerando que O C - = O B - = 12     m , os vetores nas direções mencionadas são:

A C → = 5,53   ,   12 + 6,59   ,   - 12,3   = 5,53   ,   18,6   ,   - 12,3

A B → = 12 + 5,53   ,   6,59   ,   - 12,3 = 17,53   ,   6,59   ,   - 12,3

E para encontrar os vetores unitários é só dividir pelo módulo:

A C ^ = A C → A C → = 5,53   i ^ + 18,6   j ^ - 12,3   k ^ 5,53 2 + 18,6 2 + 12,3 2 = 0,241   i ^ + 0,810   j ^ - 0,535   k ^

A B ^ = A B → A B → = 17,53   i ^ + 6,59   j ^ - 12,3   k ^ 17,53 2 + 18,6 2 + 12,3 2 = 0,783   i ^ + 0,294   j ^ - 0,549   k ^

E as formas vetoriais das trações são simplesmente T → A C = T A C A C ^ e T → A B = T A B A B ^ .

Passo 2

Agora vamos considerar as condições de equilíbrio para as forças na direção de cada eixo:

∑ F x = ∑ F y = ∑ F z = 0

∑ F x = 0,783   T A B + 0,241   T A C + O x

∑ F y = 0,294   T A B + 0,810   T A C + O y

∑ F z = - 0,549   T A B - 0,535   T A C + O z - 3924 = 0

Ainda temos cinco variáveis, mas só três equações: não é suficiente!

Passo 3

Vamos procurar outras equações de equilíbrio. Se calcularmos o momento em relação ao eixo que une os pontos B e C nós vamos excluir as duas trações, e chegaremos em uama conta bem simples:

∑ M B C = ∑ M → B ∙ B C ^

E para o momento em relação ao ponto B só precisamos considerar a força peso e a componente O z da força em O :

∑ M → B = r → 1 × O → z + r → 2 × P →

E o único vetor mais complicado de se escrever nessa equação é o que liga o ponto B ao ponto G :

r → 2 = - 12 + 9 cos ⁡ 55 ° sen ⁡ 40 ° i ^ - 9 cos ⁡ 55 ° cos ⁡ 40 ° j ^  

r → 2 = - 15,32   i ^ - 3,954   j ^

A componente k ^ desse vetor seria só um trabalho a mais para calcular, já que vamos projetar no eixo B C ^ de qualquer forma.

E vamos escrever esses produtos vetoriais como determinantes:

∑ M → B = i ^ j ^ k ^ - 12 0   0 0 0 O z + i ^ j ^ k ^ - 1 5,32 - 3,954   0 0 0 - 400 9,81 = 0

∑ M → B = 12   O z   j ^ + 15515   i ^ - 60116   j ^ = 0  

E agora falta fazer o produto interno com B C ^ :

B C ^ = - 12 i ^ + 12 j ^ 12 2 + 12 2 = - 2 2   i ^ + 2   2   j ^

∑ M → B ∙ B C ^ = 12   O z - 60116 2 2 - 15515 2 2 = 0  

Beleza, agora podemos adicionar essa equação ao nosso sistema:

O z = 6302,6

Passo 4

Ainda falta encontrar mais uma equação. Dessa vez vamos considerar o momento em relação ao eixo y :

∑ M y = 0

Nesse caso vamos eliminar todas as força em O e a tração T A C . Ficamos apenas com a componente em z da tração T A B e com a força peso:

∑ M y = - - 0,549 T A B 12 - 400 9,81 9 cos ⁡ 55 ° sin ⁡ 40 °

T A B = 1976,4   N

E essa é a última equação do nosso sistema.

Passo 5

Ficamos então com as seguintes equações:

0,783   T A B + 0,241   T A C + O x = 0 0,294   T A B + 0,810   T A C + O y = 0 - 0,549   T A B - 0,535   T A C + O z = 3924 O z = 6302,6 T A B = 1976,4

Agora é só resolver o sistema de baixo para cima para concluir o problema:

- 0,549 1976,4 - 0,535 T A C + 6302,6 = 3924         ⇒         T A C = 2418   N

0,294 1976,4 + 0,810 2418 + O y = 0         ⇒         O y = - 2540   N

0,783   1976,4 + 0,241   2418 + O x = 0         ⇒         O x = - 2130   N

Pronto, já temos todas as respostas.

Resposta

As forças são T A B = 1976,4   N , T A C = 2418   N , O x = - 2130   N , O y = - 2540   N e O z = 6302   N .

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