Enunciado

Duas cordas amarradas em A e B são usadas para mover um tronco de uma árvore caída. Substitua as forças exercidas pelas cordas por um torsor equivalente e determine a a resultante R , b o passo do torsor equivalente, c o ponto em que o eixo do torsor intercepta o plano y z .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos os seguintes dados:

F A C = 1650   N

F B D = 1500   N

As coordenadas de A , B , C e D podem ser representadas por:

A 0,0 , 12

B 9,0 , 0

C 6,2 , 21

D 23,2 , 5

Portanto o vetor posição de C A é dao por:

A C - = O C - - O A -

A C - = 6 i + 2 j + 9 k

A sua intensidade é dada por:

A C = 6 2 + 2 2 + 9 2

A C = 11   m

Podemos representar oo vetor unitário como:

λ A C = A C - A C

λ A C = 6 i + 2 j + 9 k 11

Passo 2

Com o auxilio do vetor unitário podemos retratar a força de forma vetorial:

F A C = F A C ⋅ λ A C

F A C = 1650 ⋅ 6 i + 2 j + 9 k 11

F A C = 150 6 i + 2 j + 9 k

Passo 3

Agora vamos fazer o mesmo procedimento com B D para retratar F B D de forma vetorial:

O vetor posição de B D é dao por:

B D - = O D - - O B -

B D - = 14 i + 2 j + 5 k

A sua intensidade é dada por:

B D = 14 2 + 2 2 + 5 2

B D = 1 5   m

Podemos representar oo vetor unitário como:

λ B D = B D - B D

λ B D = 14 i + 2 j + 5 k 15

Passo 4

Com o auxilio do vetor unitário podemos retratar a força de forma vetorial:

F B D = F B D ⋅ λ B D

F B D = 1500 ⋅ 14 i + 2 j + 5 k 15

F B D = 10 0 14 i + 2 j + 5 k

Passo 5

Agora podemos finalmente encontrar a força resultante resultante R :

R = F A C + F B D

R = 150 6 i + 2 j + 9 k + 100 14 i + 2 j + 5 k

R = 2300 i + 500 j + 1850 k

A magnitude da resultante é dada por:

R = 2300 2 + 500 2 + 1850 2

R = 2993,74   N

Passo 6

O vetor posição de R é dado por:

r = R R

r = 2300 i + 500 j + 1850 k 2993,74

r = 0,7682 i + 0,167 j + 0,618 k

Passo 7

Item b:

O torsor equivalente é calculado ao fazer o produto vetorial dos vetores que ultrapassam a distância das linha de ação das forças ao ponto O . Somados aos torsores iniciados:

M O = ∑ F × d + ∑ M

Substituindo os valores, temos:

M O = 1650 ⋅ 6 i + 2 j + 9 k 11 × 12 k + 1500 ⋅ 14 i + 2 j + 5 k 15 × 9 i

M O = - 3600 i + 6300 j + 1800 k

A intensidade do torsor na direção da R pode ser calculada ao fazer o produto escalar entre o torsor e a direção de R :

M i = M O ⋅ r

M i = - 3600 i + 6300 j + 1800 k ⋅ 0,7682 i + 0,167 j + 0,618 k

M i = - 601,02   N ⋅ m

O passo do torsor é dado pela divisão entre a intensidade do torsor pela intensidade de R :

p = M i R

p = - 601,02 2993,74   N

p = - 0,201   m

Passo 8

Item c:

O torsor binário pode ser dado como o somatório dos torsores aplicados no sistema ou como o produto vetorial de R por r O .

Portanto:

R × r O = M 2

2300 i + 500 j + 1850 k × x i + z k = - 3600 i + 6300 j + 1800 k + - 601,02 ⋅ 0,7682 i + 0,167 j + 0,618 k

1850 y i + 2300 z j - 2300 y k - 500 z i = - 3138,1 i + 6400,4 j + 2171,6 k

Portanto:

6400,4 = 2300 z

z = 2,78   m

2171,6 = - 2300 y

y = - 0,9 44   m

O eixo do momento torsor intercepta o plano y z em x = 0 , y = - 0 , 944   m e z = 2,78   m .

Resposta

a )   R = 2300 i + 500 j + 1850 k

b )   p = - 0,201   m

c ) x = 0

y = - 0,944   m

z = 2,78   m

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