Enunciado

Usando o método da Sec. 7.4, resolver o Prob. 7.17

Passo 1

Pessoal essa questão pede para fazermos o diagrama do momento fletor e da força cortante para a viga representada. A primeira coisa que temos de fazer é achar as forças de reação em A e em B .

Para este exercício iremos calcular a força cortante de forma um pouco diferente, vamos escrever uma função que defina o carregamento w ( x ) e integrar essa função para obter a força cortante:

V x = - ∫ w x   d x

Depois é só derivar novamente para obter o momento fletor.

M x = ∫ V x   d x

Passo 2

Vamos começar calculando as reações:

Como só existe uma força em x essa força é nula, portanto A x = 0 . Agora podemos aplicar as equações da estática:

∑ F y = 0

A y - 40 × 1,8 - 70 + B y = 0

Repare que o termo ( 40 × 1,8 ) é o valor da força relacionada à carga distribuída e é calculada como:

F = c a r g a × c o m p r i m e n t o

Voltando à equação:

A y + B y = 142   k N

Agora o momento aplicado no ponto A e considerando o sentido horário positivo:

∑ M A = 0

Aqui é importante perceber que a força relativa ao carregamento terá o mesmo valor do item acima e atuará na metade do comprimento do carregamento:

F = 40 × 1,8 = 72   k N

d = 1,8 2 = 0,9   m

Substituindo:

F × d + 70 × 2,7 - B y × 4,5 = 0

72 × 0,9 + 18,9 - B y × 4,5 = 0

B y = 56 , 4   k N

Dessa forma:

A y = 142 - B y = 85,6   k N

Passo 3

Agora vamos achar a força cortante. Como falamos no primeiro passo a gente vai integrar a função que define o carregamento. Como é um carregamento uniforme vamos ter:

w x = 40

É uma constate!

Para calcular a força cortante:

V x = - ∫ w x   d x

V x = - ∫ 40   d x

V x = - 40 x + C

Beleza, mas quem é C ? Essa constante de integração é igual às forças que pontuais que atuam na barra. Mas repara que isso que estamos fazendo nesse passo vale apenas para 0 < x ≤ 1,8 . Então C é igual à força atuante em A :

C = A y = 85,6   k N

Dessa forma, para o trecho 0 < x ≤ 1,8 vamos ter que a força cortante vale:

V x = - 40 x + 85,6

Uhulll!!

Mas faltam os trechos 1,8 < x ≤ 2,7 e x > 2,7 , correto?

Passo 4

Vamos analisar o trecho 1,8 < x < 2,7 :

Como já passamos por todo o carregamento distribuído podemos considerar ele todo como uma constante, porque o valor que esse carregamento exerce sobre a força cortante não vai mais mudar então vamos ter:

V x = - 40 x + 85,6

V x = 1,8 = - 40 ( 1,8 ) + 85,6

V x = 1,8 = 13,6   k N

Reparem que a gente pegou o valor referente ao ponto x = 1,8 . Como não existe nenhuma força até o ponto D ( x = 2,7 ) esse valor permanecerá constante, logo:

V x = 13,6   k N

Quando a gente chega em D temos de subtrair o valor de 70   k N já que essa força causa uma diminuição na força cortante, então teremos:

Para o trecho 2,7 ≤ x < 4,5

V x = 13,6 - 70 = - 56,4   k N

E finalmente no ponto x = 4,5 a cortante volta a ser zero, porque se soma à força em B :

V x = 4,5 = - 56,4 + 56,4 = 0

A gente pode desenhar o diagrama e obter uma figura assim:

Observe que o valor máximo do momento fletor ocorre exatamente no ponto A !

V m á x = 85,6   k N

Passo 5

Agora vamos partir para o momento fletor a gente não precisa fazer as seções novamente só precisamos integrar os valores:

M x = ∫ V x   d x

Para o trecho A C :

V x = - 40 x + 85,6

M x = ∫ - 40 x + 85,6   d x

M x = - 20 x 2 + 85,6 x + K

Pessoal o termo K aqui vale quando temos um momento puro o que não existe na nossa viga então podemos desconsiderar esse termo em todos os trechos obtendo:

M x = - 20 x 2 + 85,6 x

No ponto C vamos ter:

M = - 20 × 1,8 2 + 85,6 × 1,8 = 89,28   k N . m

Para o trecho C D :

V x = 13,6   k N

M x = ∫ 13,6   d x

M x = 13,6 x + M C

M x = 13,6 x + 89,28

No ponto D vamos ter:

M = 13,6 × 0,9 + 89,28 = 101,52

Para o trecho D B :

V x = - 56,4   k N

M x = ∫ - 56,4   d x

M x = - 56,4 x + 101,52

Pessoal a gente nem precisaria calcular no ponto B porque sempre nos pontos de apoio o momento fletor né nulo!

Logo, ao fazermos o diagrama obtemos:

O ponto máximo ocorre no ponto D e vale:

M m á x = 101,5   k N

Resposta

a)

V m á x = 85,6   k N

b)

M m á x = 101,5   k N

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