Enunciado

As duas placas retangulares uniformes, cada uma pesando 800   l b , são livremente articuladas em torno de sua borda comum e suspensas pelo cabo central e quatro cabos de canto simétricos. Calcule a tensão T em cada um dos cabos de canto e a tensão T 0 no cabo central.

Passo 1

Fala galera! Tudo certo? Vamos dividir a resolução em algumas etapas, beleza? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar a tensão T dos cabos das extremidades e a tensão T 0 no cabo central. Vamos tentar entender este problema. As placas estão em equilíbrio presas por cinco cabos (quatro nas extremidades e um central) e são simétricas, o que nos leva a concluir que as tensões nos cabos das extremidades são iguais.

Para facilitar nossos cálculos, vamos começar definindo vetorialmente as tensões nos cabos das extremidades, no cabo central e o peso das placas a partir de seus vetores unitários.

Considerando a origem como o ponto de encontro dos cincos cabos de coordenadas 12 ,   3 ,   5 e o ponto 1 como uma das extremidades, temos:

T 1 → = T 1 n → n

T 1 → = T 12 - 0 i ^ + 3 - 0 j ^ + 5 - 0 k ^ 12 - 0 2 + 3 - 0 2 + 5 - 0 2

T 1 → = T 0,51 i ^ + 0,44 j ^ + 0,74 k ^

Para os demais cabos das extremidades, podemos simplesmente usar simetria e obtemos:

T 2 → = T - 0,51 i ^ + 0,44 j ^ + 0,74 k ^

T 3 → = T 0,51 i ^ - 0,44 j ^ + 0,74 k ^

T 4 → = T - 0,51 i ^ - 0,44 j ^ + 0,74 k ^

E a tensão no cabo central é simplesmente:

T 0 → = T 0 n → n

T 0 → = T 0 k ^

Finalmente, o peso da placa pode ser expresso vetorialmente por:

W → = W 0 i ^ + 0 j ^ - 1 k ^

W → = 2 * 800 0 i ^ + 0 j ^ - 1 k ^

W → = - 1600 k ^

Passo 2

Show, feito isso, temos definidas todas as forças atuantes nas placas. Para que o sistema esteja em equilíbrio, o somatório de forças nas direções x , y e z deve ser nulo. Podemos então analisar separadamente as componentes i ^ , j ^ e k ^ do somatório das forças atuantes na placa, que também devem ser nulas para manter essa condição.

De cara, analisando as expressões de T 1 → , T 2 → , T 3 → e T 4 → que definimos no Passo 1, temos que as componentes i ^ e j ^ vão se anular quando somadas, restando apenas a componente k ^ :

∑ F z = 0

4 * 0,74 T + T 0 - 1600 = 0

2,96 T + T 0 = 1600

Show de bola! Vamos guardar essa equação por enquanto.

Passo 3

Beleza, mas e agora?

Considerando novamente a simetria entre as placas, podemos analisar separadamente uma delas com o seu peso W = 800   l b atuando no meio e as duas tensões nas suas extremidades, e fazer o equilíbrio de momentos dessas forças em torno da borda comum entre as duas placas. Isso elimina nossa outra incógnita T 0 uma vez que ela está aplicada exatamente nesse eixo que une as barras. Então bora lá!

∑ M = 0

2 * 0,74 T * 12 - 2 * 0,51 T * 2 - 800 * 12 2 = 0

2 T 0,74 12 - 1,02 = 400 12

T = 400 12 2 * 0,74 12 - 1,02

T = 450   N

E substituindo esse valor de T na equação final do Passo 2, temos:

2,96 * 450 + T 0 = 1600

T 0 = 1600 - 1332

T 0 = 268   N

Ufa! Essa já foi hein? Partiu pra próxima!

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Resposta

T = 450   N

T 0 = 268   N

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