Enunciado

O alçapão uniforme de 30 por 40   i n pesa 200   l b e é mantido aberto pelo suporte leve A B no ângulo θ = tan - 1 ⁡ 4 3 . Calcule a compressão F B na biela e a força suportada pela dobradiça D normal ao eixo da dobradiça. Suponha que as dobradiças atuam nas extremidades da borda inferior.

Passo 1

Fala galera! Tudo certo? Vamos dividir a resolução em algumas etapas, beleza? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar a força de compressão F B na biela em B e a força suportada pela dobradiça D normal ao seu eixo, devido ao peso da placa uniforme de 100   l b . Vamos começar desenhando o diagrama de corpo livre do nosso problema.

Onde:

θ = tan - 1 ⁡ 4 3

θ = 53,13 °

Podemos descrever vetorialmente o peso W da porta como:

W → = 200 ( 0 i ^ + 0 j ^ - 1 k ^ )

W → = 0 i ^ + 0 j ^ - 200 k ^   l b

O mesmo para a tensão F B → utilizando seu vetor unitário na direção A B → . As coordenadas dos pontos A e B são:

A = ( 40 ,   30 ,   0 )

B = ( 32 ,   30 cos ⁡ 53,13 ° , 30 sen ⁡ 53,13 ° )

B = ( 32 ,   18 ,   24 )

E, finalmente, a tensão no cabo pode ser definida vetorialmente como:

F B → = F B A B → A B

F B → = F B 32 - 40 i ^ + 18 - 30 j ^ + 24 - 0 k ^ 32 - 40 2 + 18 - 30 2 + 24 - 0 2

F B → = F B - 8 i ^ - 12 j ^ + 24 k ^ 8 2 + 12 2 + 24 2

F B → = F B - 0,286 i ^ - 0,429 j ^ + 0,857 k ^

Passo 2

Uma vez que o corpo está em equilíbrio, podemos fazer o somatório dos momentos de cada uma das forças que agem na porta em torno do ponto D , por exemplo, e ele deve ser nulo.

∑ M D = 0

M D F B + M D W + M D C = 0

Para isso, precisamos dos vetores direção dos pontos de aplicação das forças até o ponto D :

r A → = D A → = 40 i ^ + 30 j ^ + 0 k ^

r G → = D G → = 20 i ^ + 9 j ^ + 12 k ^

r C → = D C → = 40 i ^ + 0 j ^ + 0 k ^

Para facilitar nossos cálculos, vãos resolver separadamente o momento causado por cada uma das forças. Começando pela tensão no cabo:

M D F B = r A → × F B →

M D F B = 40 i ^ + 30 j ^ + 0 k ^ × F B - 0,286 i ^ - 0,429 j ^ + 0,857 k ^

M D F B = F B 30 * 0,857 + 0 * 0,429 i ^ + - 40 * 0,857 - 0 * 0,286 j ^ + - 40 * 0,429 + 30 * 0,286 k ^

M D F B = F B 25,71 i ^ - 34,28 j ^ - 8,58 k ^

Agora para o peso:

M D W = r G → × W →

M D W = 20 i ^ + 9 j ^ + 12 k ^ × 0 i ^ + 0 j ^ - 200 k ^

M D W = - 9 * 200 - 12 * 0 i ^ + 20 * 200 + 12 * 0 j ^ + 20 * 0 - 9 * 0 k ^

M D W = - 1800 i ^ + 4000 j ^ + 0 k ^   l b ∙ i n

E para o as reações da dobradiça C :

M D C = r C → × C →

M D C = 40 i ^ + 0 j ^ + 0 k ^ × C x i ^ + C y j ^ + C z k ^

M D C = 0 * C z - 0 * C y i ^ + - 40 * C z + 0 * C x j ^ + 40 * C y - 0 * C x k ^

M D C = 0 i ^ - 40 C z j ^ + 40 C y k ^

Passo 3

Tá, mas e agora?

Até aqui temos que:

F B 25,71 i ^ - 34,28 j ^ - 8,58 k ^ + - 1800 i ^ + 4000 j ^ + 0 k ^ + 0 i ^ - 40 C z j ^ + 40 C y k ^ = 0

Para satisfazer a condição de equilíbrio, as componentes i ^ , j ^ e k ^ separadamente também devem ser nulas. Então:

25,71 F B - 1800 = 0 - 34,28 F B + 4000 - 40 C z = 0 - 8,58 F B + 40 C y = 0

O que nos da um sistema de três equações e três incógnitas. Pela primeira equação temos:

F B = 1800 25,71

F B = 70   l b

Substituindo F B na segunda e terceira equação:

C z = - 34,28 * 70 + 4000 40

C z = 40   l b

C y = 8,58 * 70 40

C y = 15   l b

Passo 4

Mas calma que ainda não acabou! Hehe

Lembra que o que nos foi pedido foi a reação normal na dobradiça D , não na dobradiça C . Essa reação pode ser facilmente obtida pelo equilíbrio de forças nas direções y e z , já que temos todas as demais forças do sistema. Sendo assim:

∑ F y = 0

C y + D y - 0,429 F B = 0

D y = 0,429 * 70 - 15

D y = 15   l b

∑ F z = 0

C z + D z + 0,857 F B - W = 0

D z = 200 - 0,857 * 70 - 40

D z = 100   l b

Mas você deve estar se perguntando: “por que não consideramos a reação D x da dobradiça?”. Desconsideramos D x pois foi pedida a reação normal na dobradiça D , que está localizada no eixo x , ou seja, a reação perpendicular a esse eixo. Finalmente temos que:

D n = D y 2 + D z 2

D n = 15 2 + 100 2

D n = 101,1   l b

Ufa! Essa já foi hein? Partiu pra próxima!

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Resposta

F B = 70   l b

D n = 101,1   l b

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