Enunciado

O eixo de raio c é submetido a um torque distribuído t , medido como torque/comprimento do eixo. Determine as reações nos apoios A e B.

Passo 1

Olá pessoal, vamos ao trabalho!!

A questão quer que determinemos a torção em B ( T B ) e a torção em A ( T A ) , para isso iremos realizar um somatório de torques depois igualar os ângulos de deformação causados pelos torques diferente, sendo que como os pontos A e B são fixos não haverá rotação. Temos que:

t = t 0 ⋅ 1 + x L 2

Passo 2

No momento vamos analisar a figura para uma melhor visualização do próximo passo.

Primeiramente vamos encontrar qual é a equação que rege o torque resultante ( T x ) do carregamento t .

T x = ∫ 0 x t 0 1 + x L 2 d x  

T x = t 0 ⋅ x + x 3 3 ⋅ L 2

Sendo assim, o torque do carregamento máximo ocorre quando o x = L que será;

T C = t 0 ⋅ L + L 3 3 ⋅ L 2

T C = t 0 ⋅ L + L 3

T C = 4 ⋅ L ⋅ t 0 3

Se fosse realizar agora o somatório dos torques teríamos uma equação para duas incógnitas, para isso vamos primeiro relacionar as deformações provocadas pelos torques.

Fixando somente o ponto A   temos que no ponto B haverá dois ângulos de deformação por torção gerados: um por T x ( ϕ T x ) e outro por T B ( ϕ T B ). Porém como sabemos que B   é fixado, logo sua Δ ϕ B = 0 . Então, temos:

ϕ T x = ϕ T B

∫ 0 L t 0 ⋅ x + x 3 3 ⋅ L 2 ⋅ d x J ⋅ G = T B ⋅ L J ⋅ G

1 J ⋅ G ∫ 0 L t 0 ⋅ x + x 3 3 ⋅ L 2 ⋅ d x = T B ⋅ L J ⋅ G

t 0 J ⋅ G ∫ 0 L x + x 3 3 ⋅ L 2 ⋅ d x = T B ⋅ L J ⋅ G

t 0 J ⋅ G ⋅ x 2 2 + x 4 3 ⋅ 4 ⋅ L 2 0 L = T B ⋅ L J ⋅ G

t 0 ⋅ L 2 2 + L 4 3 ⋅ 4 ⋅ L 2 = T B ⋅ L

t 0 ⋅ L 2 2 + L 2 12 = T B ⋅ L

T B = 7 ⋅ L 12

Passo 3

Agora só realizar o somatório e encontrar o valor de T A .

∑ T = 0

T B + T A - T C = 0  

7 ⋅ L 12 + T A - 4 ⋅ L ⋅ t 0 3 = 0  

T A =   4 ⋅ L ⋅ t 0 3 - 7 ⋅ L 12

T A = 3 ⋅ t 0 ⋅ L 4

Resposta

T B = 7 ⋅ L 12

T A = 3 ⋅ t 0 ⋅ L 4

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