Enunciado

Determine a faixa de massas m do cilindro na qual o sistema está em equilíbrio. Considere o caso em que o coeficiente de atrito entre o cabo e a superfície de apoio fixa vale ( b ) 0,3. Inclua o atrito indicado entre o corpo de 100 kg e a rampa.

Passo 1

Nesse caso, há atrito entre a corda e a superfície, então a tração que é transmitida ao bloco pelo cabo é diferente do peso do cilindro m g = 9,81 m . A fórmula para o equilíbrio do cabo nos dá a relação entre as trações nas duas extremidades do cabo:

ln ⁡ T 2 T 1 = μ β

Sendo T 2 a tração maior T 1 a tração menor, μ = 0,3 o coeficiente de atrito entre o cabo e a superfície e β o ângulo total de contato do cabo com a superfície curva. O ângulo β é igual a 90 ° + 20 ° = 110 ° . Passando para radianos, obtemos:

β = 110 ° × π 180 ° = 1,92

Passando a equação para a forma exponencial, temos:

T 2 T 1 = e μ β = e 0,3 × 1,92 = e 0,576

⇒ T 2 T 1 = 1,79

Agora vamos considerar os casos em que a força de atrito entre o bloco e o solo é estática para a esquerda e estática para a direita, que configuram nossos casos limites, os limiares de movimento do bloco.

Passo 2

  1. Bloco na iminência de descer. Nesse caso a tração é pequena e a força de atrito impede o bloco de descer. A força de atrito no cabo também impede ele de descer, então a tração menor T 1 é feita pelo peso do cilindro, T 1 = 9,81 m e a tração maior T 2 é a tração no bloco. Achamos então T 2 em função de m :
  2. T 2 T 1 = 1,79 ⇒ T 2 = 1,79 × 9,81 m = 17,6 m

    Vamos colocar o eixo x paralelo à rampa e o eixo y normal a ela. A inclinação do peso de 981 N em relação à normal é 20°. Vamos então às equações:

    ∑ F y = 0 ⇒ N = 981 cos ⁡ 20 ° = 921,8   N

    ∑ F x = 0 ⇒ 0,3 N + 17,6 m = 981 sen ⁡ 20 °

    ⇒ 0,3 921,8 + 17,6 m = 335,5

    ⇒ m = 335,5 - 276,5 17,6 = 3,36   k g

    Passo 3

  3. Bloco na iminência de subir. Nesse caso a tração é grande, e o atrito impede o bloco de subir. Dessa vez o atrito no cabo feito pela superfície curva aponta para o outro lado, também impedindo o bloco de subir. Então a tração maior é feita pelo peso do cilindro, T 2 = 9,81 m . Vamos então achar a tração T 1 no bloco. A configuração das outras forças é igual.

T 2 T 1 = 1,79 ⇒ T 1 = 9,81 m 1,79 = 5,48 m

∑ F y = 0 ⇒ N = 921,8   N

∑ F x = 0 ⇒ 5,48 m = 981 sen ⁡ 20 ° + 0,3 N

⇒ m = 335,5 + 0,3 921,8 5,48 = 112   k g

Então a massa do cilindro deve estar entre 3,36 kg e 112 kg.

Resposta

3,36   k g ≤ m ≤ 112   k g

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