Enunciado

O eixo de transmissão de um trator é feito de um tubo de aço com tensão de cisalhamento admissível τ a d m = 42   MPa . Se o diâmetro externo for 75   mm e o motor transmitir 145   kW  ao eixo quando estiver girando a 1250   rev/minuto, determine a espessura mínima exigida para a parede do eixo.

Passo 1

Fala! Tá bem?

Não se assusta com a história do trator. O que a gente tem aqui é basicamente um eixo em forma de tubo que transmite uma potência 1 4 5   kW sob frequência 1 25 0   rev/minuto e queremos encontrar a espessura e da parede do tubo.

Por causa da transmissão de potência, o tubo vai sofrer um esforço de torção. E essa torção gera uma tensão de cisalhamento nesse eixo.

A tensão de cisalhamento no eixo não pode ultrapassar τ a d m = 42   MPa . E a gente quer saber qual é a expessura desse tubo que suporta essa potência P sem ultrapassar essa tensão.

Vamos precisar da fórmula da torção para ter uma expressão para a tensão aplicada nesse cara e comparar com a tensão máxima:

τ = T   r J

Reunindo as características geométricas do desse eixo, temos:

  • Raio externo:   r e = 75 / 2 = 37,5   mm .
  • Espessura: e . (Desconhecido! É o que a gente quer encontrar)
  • Raio interno: r i = r e - e .
  • E como temos um tubo, o momento de inércia polar é dado por:

J = π r e 4 - r i 4 2

Para ajudar nas contas, podemos primeiro achar r i (Raio interno) necessário e depois calcular e , a expessura:

e = r e - r i

Para isso, primeiro precisamos descobrir qual é o torque atuando no eixo. Bora!

Passo 2

Cara, repara que ele nos deu uma potência e uma frequência, isso é uma dica para gente lembrar de transmissão de potência.

Na transmissão de potência, sabemos que o torque está relacionado com a frequência da seguinte maneira:

P = 2 π T f

Temos:

P = 145   k W

f = 1250 r e v m i n = 1250 60   r e v / s

Repara que a gente dividiu nossa frequência por 60 para sairmos de r e v / m i n e irmos para r e v / s , unidade que pode ser usada na nossa fórmulinha.

Então podemos já achar o torque atuando nesse eixo usando esses dados na nossa fórmula:

145   k W = 2 π ⋅ T ⋅ 1250 60   rev/s

Isolando T , encontramos:

T = 1107,7184   Nm

Passo 3

Agora vamos ver qual raio interno r i pode aguentar a tensão admissível segundo esse torque. Repara na fórmula da tensão:

τ = T   r J

Percebe que quanto maior r maior τ , então a tensão máxima acontece no ponto da seção mais longe do centro, ou seja, na borda do tubo! Essa tensão que deve ser igual a nossa tensão admissível para que o tubo resista ao torque. Logo, r vai ser o raio externo r e do nosso tubo.

Assim a tensão máxima vai ocorrer na distância r e = 37,5   mm . (borda do tubo). Podemos usar a fórmula da torção para achar o valor que momento polar de inércia o eixo deve ter:

τ a d m = τ = T   r J      

42   MPa = 1107,7184   Nm ⋅   37,5   mm J

J = 989034,2857   mm 4

Passo 4

Aí percebe que a gente tem a expressão de J :

J = π r e 4 - r i 4 2

E o valor de J que é J = 989034,2857   mm 4 . Então vamos igualar essas duas coisas e achar r i , já que temos r e :

989034,2857   mm 4 = π r e 4 - r i 4 2    

      r i 4 = r e 4 - 2 989034,2857   mm 4 π

Substituindo r e = 37,5   mm :

r i 4 = 37,5 4   mm 4 - 629638,7818   mm 4

r i = 34,0733   mm

Passo 5

Só mais uma continha para achar a espessura:

e = r e - r i

e = 37,5   mm - 34,0733   mm

  e = 3,427   mm

Resposta

Espessura:   e = 3,427   mm .

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