Enunciado

O poste A de aço inoxidável 304 está embutido em um tubo B de latão vermelho C83400. Ambos estão apoiados sobre a superfície rígida. Se for aplicada uma força de 25   k N à tampa rígida, determine o diâmetro d exigido para o poste de aço para que a carga seja compartilhada igualmente entre poste e o tubo.

Passo 1

Cara, fala aí!

Vamos entender o que está acontecendo, belezinha?

Temos um poste formado por um cilindro maciço de aço, e mais externamente a esse cilindro, temos um tubo cilíndrico de latão. Esses 2 componentes vão resistir a essa força aplicada juntos. Cada material vai resistir a uma parcela dessa carga.

Por isso, vamos fazer o DCL:

Ele diz que a carga é compartilhada igualmente pelos dois materiais. Então temos que as forças em cada um deles são iguais:

F a ç o = F c o n c

E pelo equiíbrio, vemos que cada um vai resistir a metade do carregamento de 25   k N :

F a ç o = F c o n c = 1 2 25   k N

F a ç o = F c o n c = 12,5   k N

Aí ele quer saber o diâmetro do cilindro de aço para que aconteça essa situação. Vamos ver como resolver essa!

Passo 2

Então, para saber o valor do diâmetro do cilindro de aço sabendo a força nele e a força no latão podemos pensar na equação de compatibilidade dos deslocamentos pra resolver essa parada. Como?

Vamos analisar como esses caras se deformam por causa da carga. Teriamos algo assim:

A carga age sobre essa “tampa” do poste. Essa tampa não se deforma né? A gente considera pelo enunciado que ela é uma chapa rígida. Então, se não há deformação, ela permance reta. Logo, a altura que ela desce no meio, ela desce igualmente nas extremidades.

Então se o aço encurta um valor δ a ç o , o latão vai ter o mesmo valor de encurtamento, independente da quantidade de carga que cada um recebe. Aí nesse caso:

δ l a t = δ a ç o

Sendo que a expressão do encurtamento é

δ = N L E A

Logo, podemos reescrever:

δ l a t = δ a ç o

F l a t L E l a t A l a t = F a ç o L E a ç o A a ç o

E por que a gente faz isso? Porque aí vamos ter uma expressão que relaciona essas forças F a ç o e F l a t , e a área do cilindro de aço.

A gente não pode apenas ver que área o cilindro de aço precisa ter para suportar a força nele usando tensão admissível porque isso não levaria em conta a força necessária para deformar o latão na mesma magnitude que o aço.

Passo 3

A área do aço é:

A a ç o = π d 2 4

E a área do latão que é um tubo vazado é:

A l a t = π r e 2 - r i 2 = π 75 2 - 75 - 12 2

Vamos substituir isso na nossa equação:

F l a t L E l a t A l a t = F a ç o L E a ç o A a ç o

F l a t E l a t π 75 2 - 75 - 12 2 = F a ç o E a ç o π d 2 4

Passo 4

Pelo nome dos materiais que ele deu, temos esses módulos de elasticidade tabelados:

E a ç o = 193 G P a

E L a t = 101 G P a

Vamos substituir isso e nossos dados na equação:

12,5   k N 101 G P a π 75 2 - 75 - 12 2 = 12,5   k N 193 G P a π d 2 4

Simplificando e isolando d

1 101 75 2 - 75 - 12 2 = 1 193 d 2 4

d = 2 75 2 - 63 2 101 193

d = 58,88   m m

Resposta

d a ç o = 58,88   m m

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