Enunciado

A placa quadrada uniforme está suspensa em um plano horizontal, pelos quatro cabos presos a seus vértices, a partir dos pontos fixos A e B sobre uma linha horizontal a uma distância b acima da placa. Determine uma expressão para a frequência f n das pequenas oscilações da placa em torno do eixo A - B .

Passo 1

Vamos começar calculando o momento de inércia em relação ao eixo A B . Para isso vamos precisar do teorema dos eixos paralelos:

I A B = I c m + m d 2

Onde d é a distância entre o eixo que passa pelo centro de massa (na direção paralela a A B ) e o eixo A B :

d = b

Então:

I A B = 1 12 m b 2 + m b 2

I A B = 13 12 m b 2

Passo 2

Agora vamos montar uma equação de momentos em torno desse eixo:

∑ M A B = I A B θ ¨

E a única força que produz momento em torno desse eixo é o peso:

∑ M A B = - m g sen ⁡ θ b

Então:

- m g b sen ⁡ θ = 13 12 m b 2   θ ¨

E vamos aproximar sen ⁡ θ ≅ θ :

- m g b   θ = 13 12   m b 2   θ ¨

θ ¨ + 12 g 13 b θ = 0

O termo que multiplica θ é o quadrado da frequência angular, então:

ω 2 = 12 g 13 b

E podemos calcular a frequência f da seguinte forma:

f = ω 2 π = 1 2 π 12 g 13 b

f = 1 π 3 g 13 b

Resposta

A frequência de pequenas oscilações é f = 1 π 3 g 13 b .

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