Enunciado

O elo de metal está sujeito à força axial P   =   7   kN . Sua seção transversal original deve ser alterada pelo corte de uma ranhura circular em um lado. Determine a distância a até onde a ranhura pode penetrar na seção transversal de modo que a tensão de tração não ultrapasse σ a d m =   175   MPa . Indique um modo melhor de remover o material até essa profundidade da seção transversal e calcule a tensão de tração para esse caso. Despreze os efeitos da concentração de tensão.

Passo 1

Um elo sofre um carregamento P = 7   kN normal de tração. Sua largura é reduzida em uma certa seção transversal devido a uma ranhura. A redução é de valor a (desconhecido).

A tensão de tração não pode ultrapassar   σ a d m =   175   MPa .

Queremos descobrir até que valor a podemos reduzir a seção sem que a tensão de tração ultrapasse σ a d m =   175   MPa .

Depois, a questão pede para dizermos um modo melhor de fazer a ranhura e para calcular a tensão de tração nesse caso.

Vamos ver como ficam as forças e a tensão na seção transversal reduzida.

Passo 2

Diagrama de corpo livre.

As reações terão que equilibrar o carregamento. Vejamos como elas ficam determinadas

∑ F x = 0       →         N = P

A normal N vai causar tração na seção de interesse.

Sigamos para o equilíbrio de momentos de acordo com a base. Fique atento que P permanece atuando na metade do elo ( 40   mm ) , mas posição vertical de N agora é a metade da altura que sobrou para a seção!

∑ M b a s e = 0       →         M - 40   mm ⋅ P + 80   mm - a 2 ⋅ N = 0

N = P       →         M = a 2 P

O momento irá tracionar pontos perto da ranhura e comprimir pontos perto da base

Vejamos como ficam as tensões em A , aí podemos limitar a tração para no máximo σ a d m .

Passo 3

A normal irá tracionar, causando tensão

σ N = N A

A tensão de tração máxima na seção causada pelo momento vai ocorrer justamente na ranhura, r = ( 80   mm - a ) / 2 :

σ M = M r I

A tensão de tração será então a soma desses efeitos. Antes disso, precisamos dos valores para área e segundo momento de área na seção reduzida. A largura ainda é 25   mm .

A = ( 80   mm - a ) ⋅ 25   mm

I = 1 12 ⋅ 25   mm ⋅ 80   mm - a 3

Somando as tensões:

σ T = N A + M   r I

σ a d m =   175   MPa       →       175   MPa = 7   kN ( 80   mm - a ) ⋅ 25   mm + a 2 ⋅ 7   kN ⋅ ( 80   mm - a ) 2 1 12 ⋅ 25   mm ⋅ 80   mm - a 3

a = 61,94   mm

Passo 4

O modo melhor de fazer a ranhura seria manter a simetria, para não gerar flexões na peça.

Removendo 61,94 / 2 =     mm de cada lado, a tensão de tração fica

σ T = N A + M ⋅   0 I = 7   kN 80   mm - 61,94   mm ⋅ 25   mm

σ T = 15,50   MPa

Resposta

Distância que a ranhura pode penetrar: a = 61,94   mm .

Forma melhor: retirar material igualmente dos dois lados. Nesse caso, a tensão de tração fica sendo: σ T = 15,50   MPa .

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