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Ao empurrar uma mesa na direção da porta de saída, três estudantes exercem forças mostradas na vista de topo. Determine o sistema força-binário equivalente no ponto A . Determine, então, a equação da linha de ação da força resultante.

Passo 1

Vamos começar escrevendo as três forças em forma vetorial:

F → 1 = 100   i ^   N

F → 2 = 80   i ^   N

F → 3 = - 60   j ^   N

E agora podemos calcular a força resultante somando esses três vetores:

R → = F → 1 + F → 2 + F → 3

R → = 100 + 80 i ^ + - 60 j ^

R → = 180   i ^ - 60   j ^   N

Nosso objetivo é substituir essas três forças por um sistema força-binário em A . Isso quer dizer que vamos aplicar essa força R → sobre o ponto A , mas para fazer isso sem mudar o efeito que tínhamos antes, também precisamos acrescentar um binário M A .

Passo 2

Para calcular M A vamos ver qual era o momento total das três forças em relação ao ponto A . Lembrando que os sinais negativos aparecem antes que favorecem rotação no sentido horário:

M A = - F 1 d 1 - F 2 d 2 - F 3 d 3

M A = - 100 0,75 - 80 0 - ( 60 ) ( 1,5 )

M A = - 165   N m

Então esse momento, junto à força R → aplicada sobre o ponto A formam o sistema força-binário que o enunciado pediu.

Passo 3

Agora queremos achar a linha de ação da força resultante. A força R → tem que ser aplicada em um ponto que mantenha o momento total das forças sobre o sistema.

M → A = r → × R →

Onde M → A é o vetor do momento das forças em relação a A e r → é o vetor posição do ponto onde a força R → será aplicada.

Como a rotação acontece no sentido horário, no plano da página, o vetor M → A aponta na direção perpendicular a esse plano, e (pela regra da mão direita), no sentido que entra no plano.

M → A = - 165   k ^   N m

r → = x   i ^ + y   j ^

R → = 180   i ^ - 60   j ^   N

Agora podemos resolver o produto vetorial:

r → × R → = i ^ j ^ k ^ x y 0 180 - 60 0

r → × R → = - 60 x - 180 y   k ^

E então:

165 = 60 x + 180 y

E agora podemos reescrever essa equação:

y = - 60 180 x + 165 180

y = - 1 3 x + 11 12

E essa é a equação da linha de ação da força resultante.

Resposta

O sistema força binário é formado por R → = 180   i ^ - 60   j ^   N e M A = - 165   N m (sentido horário). E a equação da linha de ação da força resultante é y = - 1 3 x + 11 12 .

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