Enunciado

Substitua o sistema de forças que age sobre a viga por uma força e momento de binário resultante no ponto B .

Passo 1

O problema pede para substituirmos o sistema de forças apresentado por uma força resultante e um momento de binário equivalente no ponto B .

O que a gente vai fazer aqui é achar a força resultante e o momento resultante em B . E para isso precisamos calcular a soma vetorial das forças e dos momentos.

É basicamente isso que vamos fazer. Bora lá!

Passo 2

Precisamos escrever as forças que agem sobre o sistema.

Vamos escrever na forma vetorial porque aí é mais tranquilo calcular a resultante. A força de 3 k N só está no eixo y e para baixo. Logo ela fica assim:

F 1 → = - 3000 j ^   N

A força de 1,5   k N faz um ângulo de 30 ° graus com a vertical. Por isso, a achar a componente vertical multiplicamos a força por cosseno e a componente horizontal por seno.

F 2 → = 1500   s e n   30 °   i ^ - cos ⁡ 30 ° j ^   N = 750 i ^ - 1299 j ^   N

Repara que a componente de cosseno é negativa porque a força aponta para baixo. Para achar as componentes de 2,5   k N usamos o triângulo que aparece ali:

F x = - F cos ⁡ θ = - 4 5   F

F y = - F   s e n   θ = - 3 5 F

Ambas são negativas porque as forças apontam para trás e para baixo respectivamente.

F 3 → = 2500   - 4 5 i ^ - 3 5 j ^   N = - 2000 i ^ - 1500 j ^   N

A força resultante então será

F R → = F 1 → + F 2 → + F 3 →

Assim,

F R → = 750 - 2000 i ^ + - 3000 - 1299 - 1500 j ^   N

Logo,

F R → = - 1250 i ^ - 5799 j ^   N

Passo 3

Agora precisamos calcular os momentos de cada uma dessas forças com relação ao ponto B . Sabemos que o momento de uma força é dado por

M → = r → × F →

Assim, precisamos escrever o vetor posição de cada força relativo ao ponto B . Para achar esses caras, a gente coloca a origem dos nossos eixos em A . Aí o vetor r → para cada força vai ser a coordenada do ponto de aplicação dela menos a coordenada de B .

Isso gera um vetor que começa no ponto de aplicação da força e vai até B . Para a força e 3 k N :

r 1 → = 8,0 , 0 - 8,0 , 0 = 0,0 , 0

r 1 → = 0 →   m

Para a força de 3 k N :

r 2 → = 6,0 , 0 - 8 , 0,0 = - 2 , 0,0

r 2 → = - 2 i ^   m

Para a força de 2,5 k N :

r 3 → = 2 , 0,0 - 8,0 , 0 = - 6 , 0,0

r 3 → = - 6 i ^   m

Assim, vamos ter

M 1 → = 0 → × - 3000 j ^   N ⋅ m = 0 →   N ⋅ m

M 2 → = - 2 i ^ × 750 i ^ - 1299 j ^   N ⋅ m = 2598 k ^   N ⋅ m

M 3 → = - 6 i ^ × - 2000 i ^ - 1500 j ^   N ⋅ m = 9000 k ^   N ⋅ m

Somando todos os momentos:

M R → B = 0 + 2598 + 9000   k ^   N ⋅ m = 11598 k ^   N ⋅ m

Resposta

F R → = - 1250 i ^ - 5799 j ^   N

M R → B = 11598 k ^   N ⋅ m

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