Enunciado

O encanamento esta sujeito á força de 80   N . Determine o momento dessa força em relação ao ponto B .

Passo 1

Falaaa! Ele quer o momento causado por F = 80   N em relação ao ponto B . A gente vai precisar escrever F na forma vetorial, para achar o momento na forma vetorial também.

Para determinar o momento em seu vetor cartesiano, precisamos também determinar o vetor dito como comprimento.

Como assim vetor comprimento? Bem, ele é um vetor que começa no ponto B (o ponto em relação a qual a gente quer o momento) e vai até qualquer ponto na linha de ação da nossa força. Podemos escolher o ponto C , que é o ponto de aplicação da força.

Precisamos então determinar o vetor r B C   → .

E ao determinar o vetor r B C   → , o momento causado pela força vai ser esse produto vetorial:

M B → = r B C → × F →

Bora!

Passo 2

Determinando o vetor r B C → , Vamos lá!

Note que na figura temos os eixos cartesianos, olhando para figura, podemos afirmar que as coordenadas do ponto B são as seguintes:

B = 0 ,   400 ∙ 10 - 3 , 0

Multipliquei cada ponto por 10 - 3 para converter a unidade m m para m e t r o s .

E as coordenadas do ponto C , ficam o seguinte:

C = 550 ∙ 10 - 3 , 400 ∙ 10 - 3 , - 200 ∙ 10 - 3

Considerando o ponto B como inicial e o ponto C como final do nosso vetor, r B C → pode ser determinado, pela seguinte definição:

r B C → = x f - x i i + y f - y i j + z f - z i k

r B C → = C - B

r B C → = x C - x B i + y C - y B j + z C - z B k

Substituindo os pontos, temos:

r B C → = 0,55 - 0 i + 0,4 - 0,4 j + - 0,2 - 0 k   m

r B C → = 0,55 i - 0,2 k   m

Passo 3

Perceba que precisamos determinar as nossa força na forma cartesiana. Como o problema nos fornece os ângulos de inclinação do vetor força, podemos decompô-lo em suas componentes x , y e z .

Para componente z , temos o seguinte triângulo retângulo:

Aplicando seno:

s e n   30 ° = F z F

F z = F ∙ s e n   30 °

Vamos aproveitar o desenho e iremos determinar o vetor F x y , pois, dele iremos de compor para F x e F y .

Aplicando cosseno:

cos ⁡ 30 ° = F x y F  

F x y = F ∙ cos ⁡ 30 °

Para aos eixos x e y , temos outro triângulo. Decompondo o vetor F x y , temos:

Aplicando cosseno:

cos ⁡ 40 ° = F y F x y

F y = F x y ∙ cos ⁡ 40 °

Aplicando seno:

s e n   40 ° = F x F x y

F x = F x y ∙ s e n   40 °

Passo 4

Executamos a decomposição do nosso vetor força e calculamos cada componente sua. Portanto, temos o vetor força como:

F → = F x i + F y j - F z k   N

Nossa componente k é negativo porque no desenho a força F z ponta para baixo.

Substituindo nossos cálculos:

F → = F x y ∙ s e n   40 ° i + F x y ∙ cos ⁡ 40 ° j - F ∙ s e n   30 ° k   N

Substituindo F x y = 80 ∙ cos ⁡ 30 ° , temos:

F → = 80 ∙ cos ⁡ 30 ° ∙ s e n   40 ° i + 80 ∙ cos ⁡ 30 ° ∙ cos ⁡ 40 ° j - 80 ∙ s e n   30 ° k   N

F → = 44,53 i + 53,07 j - 40 k   N

Passo 5

Temos o vetor r B C → e a nossa força na forma cartesiana. Para obtermos o momento na forma cartesiana, basta efetuar o produto vetorial de r B C → × F → :

M B → = i j k 0,55 0 - 0,2 44,53 53,07 - 40

Efetuando o determinante, temos:

M B → = + 0,2 53,07 i - 0,55 - 40 + 0,2 44,53 j + 0,55 53,07 k

M B → = 10,6 i + 13,1 + 29,2 k   N ∙ m

Resposta

M B → = 10,6 i + 13,1 + 29,2 k   N ∙ m

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