Enunciado

55. Determine o momento da força F → em relação ao eixo que se estende entre A e C. Expresse o resultado como um vetor cartesiano.

Passo 1

Para fornecer o resultado como o enunciado pede precisamos calcular o momento da força F usando o produto vetorial que é dado da seguinte maneira:

M 0 = u a → ⋅ ( r → × F → ) = u a x u a y u a z r x r y r z F x F y F z

Onde:

u a x ,   u a y   e   u a z representam as componentes do vetor unitário definido na direção do eixo de rotação

r x ,   r y   e   r z representam as coordenadas do vetor posição definido a partir de qualquer ponto O sobre o eixo de rotação até qualquer ponto na linha de aplicação da força.

F x ,   F y   e   F z são as componentes da força F aplicada.

O vetor r → mencionado acima pode ser visto na figura abaixo.

Para saber as coordenadas desse vetor, basta olhar a figura e ver quanto você tem que andar para cada direção para chegar ao ponto na linha de ação da força, logo:

r → = { 0 i + 0 j - 2 k }

O vetor unitário que tem a mesma direção que o eixo de rotação que é o eixo AC, é dado por:

u → = r A → r A →

Onde r A → é o vetor que sai do ponto A até o ponto C. Assim:

r A → = { 4 i + 3 j + 0 k }

r A → = 4 2 + 3 2 + 0 2

= 16 + 9

2 5 = 5

Logo:

u → = { 4 i + 3 j + 0 k } 5

= { 0 , 8 i + 0 , 6 j + 0 k }

Passo 2

Agora que já temos tudo que precisamos, vamos calcular o momento em relação ao eixo pedido.

M 0 = u → ⋅ ( r → × F → ) = u x u y u z r x r y r z F x F y F z

= 0,8 0,6 0 0 0 - 2 4 12 - 3

= 0 , 8 0 ⋅ ( - 3 ) - - 2 ⋅ 12 - 0 , 6 - 3 ⋅ 0 - - 2 ⋅ 4 + 0 0 ⋅ 12 - 0 ⋅ 4

= 0 , 8 0 + 24 - 0 , 6 0 + 8 + 0 ( 0 + 0 )

= 0 , 8 24 - 0 , 6 8 - 0 ( 0 )

= 19,2 - 4,8 = 1 4 , 4   k N ⋅ m

Mas isso que encontramos é a intensidade do momento, para achar ele em forma cartesiana, basta multiplicá-lo pelo vetor unitário, já que eles têm a mesma direção e sentido, assim:

M 0 → = M 0 u → = 1 4 , 4 ( 0 , 8 i + 0 , 6 j + 0 k )

= ( 1 1 , 52 i + 8 , 64 j + 0 k )

Resposta

O momento da força F é dado por:

M 0 → = ( 11,52 i + 8,64 j + 0 k )

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