Enunciado

Encontre o centroide do fio.

Passo 1

Fala, galerinha! Como temos um fio composto por outras formas mais simples e conhecidas, vamos dividir o fio em partes, achar o centro de massa de cada uma e depois usar a fórmula do centroide para regiões compostas! Bora lá!

Para cada forma a gente vai listar o comprimento, e as coordenadas do centroide.

Vamos começar olhando a semicírcunferência. O centroide dela é (2 R)/(pi) distante do seu centro. Como ela é simétrica em relação a y , a coordenada x do centroide é zero

overset(-)(x)_c i r c = 0

E como ela está contida no plano x y , o centroide dela está nesse plano, então a coordenada z também vai ser zero:

overset(-)(z)_c i r c = 0

E na coordenada y , usamos a informação de que o centoide é distante 2 R // pi do centro. Isso porque o centro está contido nesse eixo.

Já que o centro é a origem dos sistema de coordenadas, temos então que

overset(-)(y)_c i r c = (2 R)/(pi) = (2 (40))/(pi) = (80)/(pi)

E o comprimento dessa semicircunferência vai ser

L_c i r c = (2 pi R)/(2) = 40 pi

Passo 2

Vamos para as barrinhas horizontais e verticais. O centroide delas vai ser no meio de cada uma. Levando em consideração que podemos desconsiderar que elas tem espessura, e olhando nossa figurinha, podemos dizer que

L_b 1 = 40

overset(-)(y)_b 1 = 0

overset(-)(x)_b 1 = - 20

overset(-)(z)_b 1 = 60

L_b 2 = 60

overset(-)(y)_b 2 = 0

overset(-)(x)_b 2 = - 40

overset(-)(z)_b 2 = 30

Repara que o x de b_2 e o de b_1 ficaram negativo, porque eles estão na parte negativa de x .

Passo 3

Para finailizar, o centroide da barra inclinada também é no meio dela. E é importante perceber que a gente vai usar pitagoras para achar seu comprimento. Fica assim:

L_b 3 = sqrt(40^2 + 60^2)

overset(-)(y)_b 3 = 0

overset(-)(x)_b 3 = 20

overset(-)(z)_b 3 = 30

Passo 4

Vamos fazer no modelo de tabela com as posições que achamos que fica melhor pra gente visualizar.

Agora, tendo todas as coordenadas do centro de massa, podemos aplicar a fórmula do centroide!

overset(-)(x) = (sum overset(-)(x) L)/(sum L) = ((0 (40 pi) + (- 40) (60) + (- 20) (40) + 20 sqrt(40^2 + 60^2)))/(4 pi + 6 + 4 + sqrt(40^2 + 60^2)) = - 5.90 m m

overset(-)(y) = (sum overset(-)(y) L)/(sum L) = (((80)/(pi) (40 pi) + (0) (60) + (0) (40) + 0 sqrt(40^2 + 60^2)))/(4 pi + 6 + 4 + sqrt(40^2 + 60^2)) = 10.7 m m

overset(-)(z) = (sum overset(-)(z) L)/(sum L) = ((0 (40 pi) + (30) (60) + (60) (40) + 30 sqrt(40^2 + 60^2)))/(4 pi + 6 + 4 + sqrt(40^2 + 60^2)) = 21.4 m m

Resposta

(overset(-)(x) , overset(-)(y) , overset(-)(z)) = ( - 5.9 , 10.7 , 21.4 )

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