Enunciado

3.37. O peso de 5   k g é suportado pela corda AC, pelo rolete, e por uma mola que possui uma rigidez de k = 2000 N m e um comprimento não deformado de 300 mm. Determine a distância d até onde o peso está localizado quando em equilíbrio.

Passo 1

Fala, meu querido! Queremos o valor de d . Nós podemos extrair esse triângulo do exercício

Podemos achar d então pela relação trigonométrica:

t g   θ = d 0,3   m → d = 0,3   t g   θ

Mas a gente precisa encontrar θ . Como ele diz que tudo está em equilíbrio, a gente pode calcular as resultantes nos eixos coordenados e igualar a zero. Aí achamos θ .

Mas lembra: falou de usar equações de equilíbrio, vamos fazer o DCL:

Bora!

Passo 2

Vamos usar as equações de equilíbrio

F R x = 0

Então

F R x = - T A C + F s ⋅ cos ⁡ θ = 0

E para o eixo y temos

F R y = 0

F R y = F s ⋅ sin ⁡ θ - 5 ⋅ 9,81 = 0

Lembra de multiplicar 9,81 pela massa e achar o peso em A.

Passo 3

Agora a força da mola pode ser definida como

F s = k ⋅ x

Esse x é o quanto a mola deformou. A gente pode acha-lo fazendo a diferença entre o comprimento não deformado da mola, 0,3   m , e o comprimento da mola no nosso problema, que é A B .

Para achar A B , vamos usar o triângulo do passo 1, e escrever esse segmento em função de θ Nele vemos que:

cos ⁡ θ = 0,3 A B → A B = 0,3 cos ⁡ θ  

A deformação fica:

x = 0,3 cos ⁡ θ   - 0,3

Então

F s = 2000 ⋅ 0,3 cos ⁡ θ - 0,3

F s = 600 ⋅ 1 c o s θ - 1

Passo 4

Substituindo F s nas equações temos

600 ⋅ 1 c o s θ - 1 ⋅ sin ⁡ θ = 5 ⋅ 9,81

Então temos

tan ⁡ θ - sin ⁡ θ = 49,05 600

Essa equação a gente vai resolver numa calculadora de expressões, tá? Porque a mão é complicado, é necessário usar algum método matemático para chegar no valor.

Aí a gente acha:

θ ≈ 30,53 °

Passo 5

Do triângulo extraído do exercício podemos dizer que

d = 0,3 ⋅ tan ⁡ 30,53 ° = 0,1769   m

Prontinho!

Resposta

d = 0,1769   m

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