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Encontre o momento M necessário para girar o tubo no bloco em V contra a ação da cinta flexível, no projeto do freio de cinta mostrado. Uma força P = 100   N é aplicada à alavanca, que pivota em torno de O . O coeficiente de atrito entre a cinta e o tubo vale 0,30 e entre o tubo e o bloco vale 0,40. Os pesos das peças são desprezíveis.

Passo 1

Vamos primeiro representar o tubo e o trecho da cinta que está colada nele em um diagrama de corpo livre. Atuam sobre o corpo trações T 1 e T 2 nas partes onde a cinta se desencosta, as forças R 1 e R 2 feitas pelo bloco nos dois pontos de contato e o momento M . O ângulo entre as forças R 1 e R 2 e a linha normal à superfície de contato deve ser ϕ , tal que tan ⁡ ϕ = 0,4 , pois esse é o coeficiente de atrito entre o bloco e o tubo. Além disso, R 1 e R 2 devem se posicionar de modo que a componente tangente ao tubo (o atrito) esteja contrária à tendência ao giro causada por M :

Passo 2

Primeiro vamos encontrar a tração T 2 , através do momento em torno de O na alavanca. A distância horizontal entre A e O é 100 cos ⁡ 45 ° , e a distância horizontal entre a aplicação de P e O é ( 375 + 100 cos ⁡ 45 ° ) . Então:

∑ M O = 0 ⇒ T 2 100 cos ⁡ 45 ° = P ( 375 + 100 cos ⁡ 45 ° )

⇒ T 2 = P 375 + 100 cos ⁡ 45 ° 100 cos ⁡ 45 ° = 3,152 P

Como P = 100   N :

T 2 = 315,2   N

Passo 3

Agora achamos T 1 através da fórmula do equilíbrio da cinta enrolada no tubo. A fórmula é a seguinte:

T 2 T 1 = e μ β

Sendo β o ângulo total do enrolamento da cinta, que é π (meia volta) e μ = 0,3 o coeficiente de atrito entre a cinta e o tubo. Então:

T 1 = T 2 e 0,3 π = T 2 2,566

Usamos o valor de T 2 encontrado anteriormente e determinamos T 1 :

T 1 = 315,2 2,566

⇒ T 1 = 122,8   N

Passo 4

Agora temos só três incógnitas para as forças no tubo: M ,   R 1 e R 2 . Então conseguimos resolver com duas equações de força e uma de momento. Vamos primeiro determinar o ângulo ϕ :

tan ⁡ ϕ = 0,4

⇒ ϕ = arctan ⁡ 0,4 = 21,8 °

As inclinações de R 1 e R 2 em relação à horizontal são 60 ° + ϕ = 81,8 ° e 60 ° - ϕ = 38,2 ° , respectivamente, como mostra a figura:

Então vamos às equações. Primeiro para a direção horizontal x :

∑ F x = 0 ⇒ R 1 cos ⁡ 81,8 ° - R 2 cos ⁡ 38,2 ° = 0

⇒ R 2 = R 1 cos ⁡ 81,8 ° cos ⁡ 38,2 ° = 0,1815 R 1

Agora a soma das forças na direção vertical y :

∑ F y = 0 ⇒ - T 1 + R 1 sen ⁡ 81,8 ° + R 2 sen ⁡ 38,2 ° - T 2 = 0

Substituímos os valores de T 1 e T 2 e trocamos R 2 por 0,1815 R 1 :

- 122,8 + R 1 sen ⁡ 81,8 ° + 0,1815 R 1 sen ⁡ 38,2 ° - 315,2 = 0

⇒ 0,9898 R 1 + 0,1122 R 1 - 438 = 0

⇒ 1,102 R 1 = 438

⇒ R 1 = 397,5   N

Então achamos também T 2 :

T 2 = 0,1815 R 1 = 0,1815 × 397,5

⇒ R 2 = 72,14   N

Passo 5

Agora que temos os valores de todas as forças, fazemos o momento em torno do centro ser zero para encontrar M . O raio do tubo é 0,25 m, e as componentes das forças R 1 e R 2 que causam momento são as tangentes ao tubo, R 1 sin ⁡ ϕ e R 2 sin ⁡ ϕ :

∑ M C = 0 ⇒ M + 0,25 T 1 - R 1 sen ⁡ 28,1 ° - R 2 sen ⁡ 28,1 ° - T 2 = 0

⇒ M = 0,25 ( 397,5 sen ⁡ 28,1 ° + 72,14 sen ⁡ 28,1 ° + 315,2 - 122,8 )

= 0,25 ( 187,2 + 33,98 + 315,2 - 122,8 )

= 0,25 × 413,6

⇒ M = 103,4   N ⋅ m

Resposta

M = 103,4   N ⋅ m

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