Enunciado

Um equipamento de massa m está preso em A por duas molas cada uma com rigidez k e comprimento sem deformação b . O equipamento é liberado a partir do repouso neste ponto e cai a uma pequena distância. A deflexão y em qualquer instante de tempo é muito pequena quando comparada com b , de modo que o alongamento da mola é muito proximamente dado por x = y sen ⁡ θ onde θ = cos   - 1 ⁡ ( c / b ) . Determine a velocidade y ˙ do equipamento como uma função de y e encontre a deflexão máxima y m á x do equipamento.

Passo 1

Vamos pensar nas três energia envolvidas aqui: a energia cinética, a potencial gravitacional e a potencial elástica.

Como o equipamento é liberado do repouso, com a mola sem deformações e em uma altura y = 0 , podemos dizer que os três valores iniciais da energia são nulos, de forma que:

Δ T = 1 2 m y ˙ 2

Δ U g = - m g y

E como temos duas molas sustentando o equipamento, a energia potencial elástica é:

Δ U e = 2   1 2 k x 2 = k x 2

Agora vamos usar as aproximações dadas no enunciado:

Δ U e = k y sen ⁡ θ 2 = k y 2 sen 2 ⁡ θ

Como sabemos o cosseno do ângulo, é útil reescrever a equação da seguinte forma:

Δ U e = k y 2 1 - cos 2 ⁡ θ = k y 2 1 - c 2 b 2

Passo 2

E agora, pela lei de conservação de energia, podemos dizer que a soma dessas três variações é sempre nula:

Δ U e + Δ T + Δ U g = 0

k y 2 1 - c 2 b 2 + 1 2 m y ˙ 2 - m g y = 0

E agora podemos isolar y ˙ para encontrar a função que foi pedida no enunciado:

y ˙ 2 = 2 g y - 2 k y 2 m 1 - c 2 b 2

y ˙ = 2 g y - 2 k y 2 m 1 - c 2 b 2

Passo 3

E para achar um valor máximo de y , precisamos encontrar seus pontos críticos:

y ˙ = 0

2 g y - 2 k y 2 m 1 - c 2 b 2 = 0

k y 2 m 1 - c 2 b 2 = g y

A primeira solução dessa equação é y = 0 , o que corresponde ao mínimo do deslocamento, e a outra solução é:

k y m 1 - c 2 b 2 = g

y = m g k 1 - c 2 b 2 - 1 = m g k b 2 - c 2 b 2 - 1 = m g k b 2 b 2 - c 2

E essa é a deflexão máxima do equipamento.

Resposta

A velocidade é dada por y ˙ = 2 g y - 2 k y 2 m 1 - c 2 b 2 e a deflexão máxima é y m á x = m g k b 2 b 2 - c 2 .

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