Enunciado

Uma escada AB de 6,5 m encosta-se em uma parede como mostrado na figura. Considerando que o coeficiente de atrito estático μ s é o mesmo para A e B, determine o menor valor de μ s para que o equilíbrio seja mantido.

Passo 1

Beleza! Vamos começar esse excercício desenhando o DCL para a escada:

Agora, sabemos que as forças de atrito em A e B podem ser escritas como:

F A = μ s N A

F B = μ s N B

Passo 2

Agora vamos aplicar as equações de movimento para o sistema, começando pelo somatório de momento em relação ao ponto A, temos:

+ ↻ ∑ M A = 0

W 1,25 - N B 6 - μ s N B 2,5 = 0 → 1,25 W = N B ( 6 + 2,5 μ s )

Isolando N B :

N B = 1,25 W 6 + 2,5 μ s

Agora aplicando o somatório de forças na direção y :

+ ↑ ∑ F y = 0

N A + μ s N B - W = 0 → N A = W - μ s N B

Substituindo o valor encontrado para N B , temos:

N A = W - 1,25 W μ s 6 + 2,5 μ s

E agora, aplicando o somatório de forças na direção x :

+ → ∑ F x = 0

μ s N A - N B = 0

Passo 3

Agora vamos substituir os valores encontrados para N A e N B na última equação que encontramos:

μ s W - 1,25 W μ s 6 + 2,5 μ s - 1,25 W 6 + 2,5 μ s = 0 → W μ s - 1,25 W μ s 2 6 + 2,5 μ s - 1,25 W 6 + 2,5 μ s = 0

Multiplicando toda a equação por 6 + 2,5 μ s para remover esse termo do denominador, e dividindo toda a equação por W para simplificar o peso, temos:

6 μ s + 2,5 μ s 2 - 1,25 μ s 2 - 1,25 = 0 → 1,25 μ s 2 + 6 μ s - 1,25 = 0

Agora, resolvendo essa equação do segundo grau:

μ s = - 6 ± 6 2 - 4 1,25 - 1,25 2 1,25 → μ s 1 = 0,2   ; μ s 2 = - 5

Então, como o coeficiente de atrito não pode ser negativo, só nos resta o valor:

μ s = 0,2

Resposta

μ s = 0,2

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