Enunciado

A espessura da placa triangular varia linearmente em y, dede o valor t 0 ao longo da sua base em y = 0 até 2 t 0 em y = h. Determine a coordenada y do centro de massa da placa.

Passo 1

Sabendo que a equação para encontrar o centro de massa é dado por:

    y - = ∫ y c d m m

Dessa maneira, vamos primeiro encontrar a massa do problema.

Passo 2

Mas antes vamos escolher um elemento de massa, para assim podermos integrar, com isso:

Pronto! Escolhido o elemento de massa vamos integrar ele em relação a y e temos a nossa massa. Lembre-se que:

ρ = d m d V

Logo,

d m = ρ d V

Como o volume varia em relação a t, temos:

ρ d V = ρ   d A   t

Note que o nosso se o elemento de área for o mesmo que o elemento de massa, então:

d A = ( b - x ) d y

Sendo assim,

ρ d V = t ρ ( b - x ) d y

Agora vamos tentar representar a variação em t com alguma relação. Observe que ele varia em y, ou seja, se y = 0   teremos t 0 , mas se y=h temos 2 t 0 . Assim,

t = t 0 y h + 1

Observe também, que a equação linear que representa a reta é dada por:

y = h b x

x = b h y

Dessa maneira, substituindo essas informações,

ρ d V = t 0 ρ y h + 1 b - b h y d y

Simplificando:

ρ d V = t 0 ρ b 1 - y 2 h 2 d y

Passo 3

Tendo a função que descreve o nosso problema fica mais fácil de integrar, dessa maneira a massa é dada por:

m =   ∫ 0 h ρ d V = ∫ 0 h t 0 ρ b 1 - y 2 h 2 d y  

Agora basta resolvermos essa integral que teremos nossa massa, sendo que:

m = t 0 ρ b y - y 3 3 h 2 h 0 = 2 3 ρ t 0 b h

Passo 4

Ante de aplicar a equação para achar o centro de massa na coordenada y, vamos resolver a integral:

∫ y c d m

Depois é só dividir pela massa que teremos o ponto. Como já conhecemos dm é só manipulação:

∫ y c d m =   ∫ 0 h y   t 0 ρ b 1 - y 2 h 2 d y

Assim,

∫ y c d m = t 0 ρ b y 2 2 - y 4 4 h h 0 = 1 4 ρ t 0 b h 2

Passo 5

Agora substituindo na equação do centro de massa, temos:

y - = ∫ y d m m = 1 4 ρ t 0 b h 2 2 3 ρ t 0 b h = 3 8 h

Resposta

  y - = 2 8 h  

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