Enunciado

O estado plano de tensão indicado ocorre em um componente de máquina feito de um aço com σ E = 325   M P a . Usando o critério da energia de distorção máxima, determine se ocorre o escoamento quando (a) σ 0 = 200   M P a , (b) σ 0 = 240   M P a e (c) σ 0 = 280   M P a . Caso o escoamento não ocorra, determine o coeficiente de segurança correspondente.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, nós vamos utilizar a equação da tensão normal máxima para descobrir o valor máximo a que o elemento está sujeito e daí comparar com a tensão de escoamento do material, para ver se escoa ou não, e depois calcular o coeficiente de segurança, caso não escoe. Então, sabendo que a tensão resultante é dada por:

σ R = σ a 2 + σ b 2 - σ a σ b

Então, precisamos dos valores das tensões nos extremos do círculo, para isso precisamos calcular a tensão média e o raio do círculo, então vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a tensão média, que é dada por:

σ m e d = σ x + σ y 2 = σ m e d = - σ 0 + - σ 0 2 → σ m e d = - σ 0

Beleza, agora, para o raio do círculo de Mohr, temos a seguinte fórmula:

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

R = σ 0 - σ 0 2 2 + 100 2 → R = 100   M P a

Beleza! E nós sabemos que as tensões nos pontos A e B serão dadas por:

σ a = σ m e d + R

σ b = σ m e d - R

Agora sim vamos começar os cálculos.

Passo 3

Beleza! Agora vamos partir para a letra (a), onde temos:

σ 0 = 200   M P a

Nesse caso, nossa tensão média será:

σ m e d = - σ 0 → σ m e d = - 200   M P a

E agora, vamos calcular os valores das tensões nos pontos A e B, onde teremos:

σ a = σ m e d + R = - 200 + 100 → σ a = - 100   M P a

σ b = σ m e d - R = - 200 - 100 → σ b = - 300   M P a

Agora conseguimos calcular a tensão resultante, que será dada por:

σ R = σ a 2 + σ b 2 - σ a σ b = - 100 2 + - 300 2 - - 100 - 300

σ R = 264,6   M P a

Como a tensão resultante é menor do que a tensão de escoamento σ E = 325   M P a , então, não terá escoamento. Sendo assim, vamos calcular o fator de segurança, dado por:

F S = σ E σ R = 325 264,6 → F S = 1,23

Shooow! Fechamos a letra (a). Agora é só repetir os cálculos para as letras (b) e (c), bora lá.

Passo 4

Beleza! Agora vamos partir para a letra (b), onde temos:

σ 0 = 24 0   M P a

Nesse caso, nossa tensão média será:

σ m e d = - σ 0 → σ m e d = - 24 0   M P a

E agora, vamos calcular os valores das tensões nos pontos A e B, onde teremos:

σ a = σ m e d + R = - 24 0 + 100 → σ a = - 14 0   M P a

σ b = σ m e d - R = - 24 0 - 100 → σ b = - 34 0   M P a

Agora conseguimos calcular a tensão resultante, que será dada por:

σ R = σ a 2 + σ b 2 - σ a σ b = - 14 0 2 + - 34 0 2 - - 14 0 - 34 0

σ R = 296   M P a

Como a tensão resultante é menor do que a tensão de escoamento σ E = 325   M P a , então, não terá escoamento. Sendo assim, vamos calcular o fator de segurança, dado por:

F S = σ E σ R = 325 296 → F S = 1,1

Opa! Terminamos mais uma, bora pra letra (c) pra fechar de uma vez!

Passo 5

Beleza! Agora vamos partir para a letra (c), onde temos:

σ 0 = 28 0   M P a

Nesse caso, nossa tensão média será:

σ m e d = - σ 0 → σ m e d = - 28 0   M P a

E agora, vamos calcular os valores das tensões nos pontos A e B, onde teremos:

σ a = σ m e d + R = - 28 0 + 100 → σ a = - 18 0   M P a

σ b = σ m e d - R = - 28 0 - 100 → σ b = - 38 0   M P a

Agora conseguimos calcular a tensão resultante, que será dada por:

σ R = σ a 2 + σ b 2 - σ a σ b = - 18 0 2 + - 38 0 2 - - 18 0 - 38 0

σ R = 329,2   M P a

Como a tensão resultante é maior do que a tensão de escoamento σ E = 325   M P a , então irá ocorrer escoamento. Fechamos mais um exercício, valeeu!

Resposta

a :   F S = 1,23

b :   F S = 1,1

c : o c o r r e   e s c o a m e n t o

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