Enunciado

A estrutura representada está sendo considerada como a parte superior de uma torre de linha de transmissão e é apoiada nos pontos F, G, H e I. O ponto C está diretamente acima do centro do retângulo FGHI. Determine a força no membro CD.

Passo 1

A fim de determinar a força no membro CD, primeiro determinaremos a força DE analisando a junta E, depois disso, haverá três forças desconhecidas agindo em D, então, analisando a junta D, podemos determinar a força CD A intersecção da treliça com o plano de Oz da te é pintada em vermelho e a intersecção da treliça com o plano xOz em azul para facilitar a leitura das coordenadas dos pontos. Vamos supor que todos os membros estão em tensão. Podemos escrever as forças L como vetores

L → = L ( 0 i → + 0 j → - 1 k → ) L → = ( 0 i → + 0 j → - L k → )

Podemos escrever o vetor de força EF como um produto de sua magnitude EF e um vetor unitário de direção de força n E F →

E F → → = E F n E → F

Podemos ver na imagem que as coordenadas dos pontos E e F são

E ( 3.5 a , 0 , - 2.5 a ) F ( 0.5 a , - 0.75 a , - 1.25 a )

Visto que conhecemos dois pontos de ação, podemos escrever n E → F

n E F = E F → E F ¯

= X F - X E i → + Y F - Y E j → + Z F - Z E k → X F - X E 2 + Y F - Y E 2 + Z F - Z E 2 = ( 0.5 - 3.5 ) i → + ( - 0.75 - 0 ) j → + ( - 1.25 + 2.5 ) k → ( 0.5 - 3.5 ) 2 + ( - 0.75 - 0 ) 2 + ( - 1.25 + 2.5 ) 2 = - 3 i → - 0.75 j → + 1.25 k → 3 2 + 0.75 2 + 1.25 2 = - 0.899 i → - 0.225 j → + 0.375 k →

E F → = E F ( - 0.899 i → - 0.225 j → + 0.375 k → )

Podemos escrever o vetor de força -   EI  → como um produto de sua magnitude EI e um vetor unitário de direção de força nEI

E I → = E I n E → I

Podemos ver da figura que as coordenadas do ponto E e I

E ( 3.5 a , 0 , - 2.5 a ) I ( 0.5 a , 0.75 a , - 1.25 a )

Uma vez que conhecemos os dois pontos de ação, podemos escrever n E → como

n E I = E I → E I ¯

= X I - X E i → + Y I - Y E j → + Z I - Z E k → X I - X E 2 + Y I - Y E 2 + Z I - Z E 2 = ( 0.5 - 3.5 ) i → + ( 0.75 - 0 ) j → + ( - 1.25 + 2.5 ) k → ( 0.5 - 3.5 ) 2 + ( 0.75 - 0 ) 2 + ( - 1.25 + 2.5 ) 2 = - 3 i → + 0.75 j → + 1.25 k → 3 2 + 0.75 2 + 1.25 2 = - 0.899 i → + 0.225 j → + 0.375 k →

E I → = E I ( - 0.899 i → + 0.225 j → + 0.375 k → )

Passo 2

Podemos escrever o vetor de força D E ¯ como um produto de sua magnitude DE e um vetor unitário de direção de força nDE

D E → = D E n E → D

Podemos ver da figura que as coordenadas do ponto E e D

E ( 3.5 a , 0 , - 2.5 a ) D ( 1.5 a , 0,0 )

Uma vez que conhecemos os dois pontos de ação, podemos escrever n E → D como

n E D = E D → E D ¯

= X D - X E i → + Y D - Y E j → + Z D - Z E k → X D - X E 2 + Y D - Y E 2 + Z D - Z E 2 = ( 1.5 - 3.5 ) i → + ( 0 - 0 ) j → + ( 0 + 2.5 ) k → ( 1.5 - 3.5 ) 2 + ( 0 - 0 ) 2 + ( 0 + 2.5 ) 2 = - 2 i → + 0 j → + 2.5 k → 2 2 + 0 2 + 2.5 2 = - 0.625 i → + 0.000 j → + 0.781 k →

D E → = D E ( - 0.625 i → + 0.000 j → + 0.781 k → )

Agora que escrevemos todas as forças como vetores, podemos escrever três equações de equilíbrio, igualando a soma das forças agindo no ponto E a zero

∑ F = 0

D E → + E F → + E → I + L → = 0 D E ( - 0.625 i → + 0 j → + 0.781 k → ) + E F ( - 0.899 i → + - 0.225 j → + 0.375 k → ) + E I ( - 0.899 i → + 0.225 j → + 0.375 k → ) + ( 0 i → + 0 j → - L k → ) = 0

( - 0.625 D E - 0.899 E F - 0.899 E I ) i → + ( - 0.225 E F + 0.225 E I ) j → + + ( 0.781 D E + 0.375 E F + 0.375 E I - L ) k → = 0

Agora temos 3 equações de equilíbrio

∑ F X = 0

- 0.625 D E - 0.899 E F - 0.899 E I = 0 (1)

∑ F Y = 0

- 0.225 E F + 0.225 E I = 0 (2)

∑ F Z = 0

0.781 D E + 0.375 E F + 0.375 E I - L = 0 (3)

Multiplique equação (1) por 0.375 0.899

0.375 0.899 ( 1 ) = - 0.261 D E - 0.375 E F - 0.735 E I = 0 (4)

Agora podemos adicionar (3) e (4) para obter a equação onde a força DE será a única incógnita

( 3 ) + ( 4 ) = 0.520 D E - L = 0

D E = L 0.520 D E = 1.923 L

Agora que determinamos a força DE, analisando a junta D, podemos determinar a força na barra CD

Uma vez que o CD membro é paralelo ao eixo x, podemos escrevê-lo como

C D → = C D ( - 1 i → + 0 j → + 0 k → )

Podemos escrever o vetor de força D F como um produto de sua magnitude DF e um vetor unitário de direção de força nDF

Podemos ver na figura os pontos de coordenadas D e F

D ( 1.5 a , 0,0 ) F ( 0.5 a , - 0.75 a , - 1.25 a )

Uma vez que conhecemos os dois pontos de ação, podemos escrever n D → F como

n D F = D F → D F ¯

]   = X F - X D i → + Y F - Y D j → + Z F - Z D k → X F - X D 2 + Y F - Y D 2 + Z F - Z D 2 = ( 0.5 - 1.5 ) i → + ( - 0.75 - 0 ) j → + ( - 1.25 - 0 ) k → ( 0.5 - 1.5 ) 2 + ( - 0.75 - 0 ) 2 + ( - 1.25 - 0 ) 2 = - 1 i → - 0.75 j → - 1.25 k → 1 2 + 0.75 2 + 1.25 2 = - 0.566 i → - 0.424 j → - 0.707 k →

D F → = D F ( - 0.566 i → - 0.424 j → - 0.707 k → )

Passo 3

Podemos escrever o vetor de força D I como um produto de sua magnitude DI e um vetor unitário de direção de força nDI

D I → = D I n D → I

Podemos ver na figura os pontos de coordenadas D e I

D ( 1.5,0 , 0 ) I ( 0.5,0.75 , - 1.25 )

Uma vez que conhecemos os dois pontos de ação, podemos escrever n D → I como

n D I = D I → D I ¯ ¯

= X I - X D i → + Y I - Y D j → + Z I - Z D k → X I - X D 2 + Y I - Y D 2 + Z I - Z D 2 = ( 0.5 - 1.5 ) i → + ( 0.75 - 0 ) j → + ( - 1.25 - 0 ) k → ( 0.5 - 1.5 ) 2 + ( 0.75 - 0 ) 2 + ( - 1.25 - 0 ) 2 = - 1 i → + 0.75 j → - 1.25 k → 1 2 + 0.75 2 + 1.25 2 = - 0.566 i → + 0.424 j → - 0.707 k →

D I → = D I ( - 0.566 i → + 0.424 j → - 0.707 k → )

Agora que escrevemos todas as forças como vetores, podemos escrever três equações de equilíbrio igualando a soma das forças a zero

Observe que a força DE mudou de direção, então agora seu vetor é

D E → = D E ( 0.625 i → + 0.000 j → - 0.781 k → )

∑ F = 0

D E → + D F → + D → I + C D = 0 D E ( 0.625 i → + 0 j → - 0.781 k → ) + D F ( - 0.566 i → - 0.424 j → - 0.707 k → ) + D I ( - 0.566 i → + 0.424 j → - 0.707 k → ) + C D ( - 1 i → + 0 j → + 0 k → ) = 0

( 0.625 D E - 0.566 D F - 0.566 D I - C D ) i → + ( - 0.424 D F + 0.424 D I ) j → + + ( - 0.781 D E - 0.707 D F - 0.707 D I ) k → = 0

Agora temos 3 equações de equilíbrio

∑ F X = 0

0.625 D E - 0.566 D F - 0.566 D I - C D = 0 (5)

∑ F Y = 0

- 0.424 D F + 0.424 D I = 0 (6)

∑ F Z = 0

- 0.781 D E - 0.707 D F - 0.707 D I = 0 (7)

Passo 4

Da equação (6), podemos ver que as forças DF e DI são iguais

- 0.424 D F + 0.424 D I = 0                                                               ( 6 )                                     D F = 0.424 D I 0.424 D F = D F

Em seguida, substituindo DF por DI na equação (7), podemos determinar seu valor, uma vez que já sabemos a magnitude da força DE

- 0.781 D E - 0.707 D F - 0.707 D I = 0 - 0.781 D E - 0.707 D I - 0.707 D I = 0 (7)

D I = - 0.781 D E 1.414 D I = - 0.781 ⋅ 1.923 L 1.414 D I = - 1.062 L D F = - 1.062 L

Finalmente, colocando os valores de DE, DF e DE na equação (5), podemos determinar a força no membro CD

0.625 D E - 0.566 D F - 0.566 D I - C D = 0                                                                                                   ( 5 ) C D = 0.625 D E - 0.566 D F - 0.566 D I C D = 0.625 ⋅ 1.923 L - 0.566 ⋅ ( - 1.062 L ) - 0.566 ⋅ ( - 1.062 L )

C D = 2.404 L T

Resposta

C D = 2.404 L T

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O dispositivo “jaws-of-life” é utilizado por equipes de resgate para desmontar destroços, ajudando assim a libertar vítimas de acidentes. Se uma pressão de 500l b / i n 2 for desenvolvida atrás do pis
A figura ilustra um problema comum associado a estruturas simples. Sob os carregamentos L , as vigas podem girar, a viga de cumeeira em A pode baixar e as paredes B C e D E podem girar para fora, conf
Uma extensão de estabilizador para um guindaste móvel é projetada para carregar navios. A viga A B tem uma massa de 8M g com centro de massa em seu comprimento médio. A lança B C tem uma massa de 2M g
Calcule a força no elo A B das pinças de elevação que se cruzam sem se tocar.
Para o perfurador de papel mostrado, encontre a força de perfuração Q correspondente a uma alça de mão P .