Enunciado

Determine as forças nos membros AB, AC e AD.

Passo 1

Primeiro, podemos ver que os pontos A, BC e D têm estas coordenadas:

A ( 0,0 , 6 ) B ( - 1 , - 3,0 ) C ( 2,0 , 0 ) D ( - 1,3 , 0 )

(A partir de agora todas as forças são dadas em quilo-Newtons e todas as distâncias são em metros)

Podemos supor que todas as forças são tensões e se obtivermos sinal negativo, isso significa apenas que é compressão.

Conhecendo as coordenadas de nossos pontos (seus vetores de raio), podemos encontrar vetores de deslocamento dos pontos B, C e D a A. Então, podemos dividir esses vetores com seus respectivos comprimentos para obter vetores unitários. Finalmente, as forças agindo sobre os membros serão seu vetor unitário multiplicado por suas magnitudes.

A equação para o vetor unitário é:

hat n_1,2 = ((x_1 - x_2) hat i + (y_1 - y_2) hat j + (z_1 - z_2) hat k)/(sqrt((x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2))

Passo 2

No nosso caso, o ponto A é sempre o ponto 1 e o ponto 2 são B, C e D.

Podemos simplesmente colocar nossas coordenadas nesta equação e obteremos:

[[vec n_A B,=,(1 overset(ˆ)(i) + 3 overset(ˆ)(j) + 6 overset(ˆ)(k))/(sqrt(46))],[vec n_A C,=,(- 2 overset(ˆ)(i) + 3 overset(ˆ)(k))/(sqrt(10))],[vec n_A D,=,(1 overset(ˆ)(i) - 3 overset(ˆ)(j) + 6 overset(ˆ)(k))/(sqrt(46))]]

E podemos multiplicar esses vetores unitários pela magnitude da força para obter a forma vetorial de nossas forças:

[[vec F_A B = |F_A B| (1 hat i + 3 hat j + 6 hat k)/(sqrt(46))],[vec F_A C = |F_A C| (- 2 hat i + 3 hat k)/(sqrt(10))],[vec F_A D = |F_A D| (1 hat i - 3 hat j + 6 hat k)/(sqrt(46))]]

Força externa (E) é

vec E = - 5 * s i n 30^@ hat j - 5 * c o s 30^@ hat k

Passo 3

Uma vez que a junta A está em equilíbrio sabemos que

sum F_x = 0

(F_A B)/(sqrt(46)) - (F_A C)/(sqrt(10)) + (F_A D)/(sqrt(46)) = 0

sum F_y = 0

(3 F_A B)/(sqrt(46)) - (F_A D)/(sqrt(46)) = - 2.5

sum F_z = 0

(6 F_A B)/(sqrt(46)) + (F_A C)/(sqrt(10)) + (6 F_A D)/(sqrt(46)) = - (5 sqrt(3))/(2)

Da primeira equação temos

F_A C = (sqrt(10) (F_A B + F_A D))/(sqrt(46))

Passo 4

Substituindo essa última e resolvendo em FAB temos

F_A B = - (5 sqrt(138))/(18) - F_A D

Se colocarmos na segunda equação, temos

F_A D = 1.194 k N

E temos

F_A B = - 4.46 k N

Finalmente

F_A C = (sqrt(10) (F_A B + F_A D))/(sqrt(46))

Temos

F_A C = - 1.52 k N

Resposta

[[F_A D = 1.194 k N],[F_A B = - 4.46 k N],[F_A C = - 1.52 k N]]

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