Enunciado

A base de um macaco de automóvel forma um triângulo equilátero de comprimento lateral de 10 pol. E é centralizado sob o colar A. Modele a estrutura como uma com uma esfera e encaixe em cada junta e determine as forças nos membros BC, BD e CD. Despreze quaisquer componentes de reação horizontais sob os pés B, C e D.

Passo 1

Podemos determinar as forças nos membros BC, BD e CD analisando as juntas B, C e D

Como este é um problema no espaço, analisando as juntas podemos determinar até três forças, pois podemos escrever três equações de equilíbrio ∑ F X = 0 , ∑ F Y = 0 , ∑ F Z = 0 e analisando as juntas podemos observe que existem quatro forças desconhecidas agindo. Ao determinar as forças de reação do diagrama de corpo livre, haverá três incógnitas atuando em cada junta.

Passo 2

Observe que, como o triângulo △ BCD é a distância equilateral entre o ponto D e o eixo y é igual à altura do triângulo

y D = h = 10 s i n ⁡ 60 ∘ = 8.66 ' '

Uma vez que a distância entre o ponto A e o eixo y é

y A = h 3 = 8.66 ' ' 3 = 2.89 ' '

Ao analisar a soma dos momentos sobre o eixo y, podemos determinar a força de reação ND

∑ M y = 0

8.66 N D - 2.89 ⋅ 800 = 0 N D = 2.89 ⋅ 800 8.66 N D = 266.67 l b

Ao analisar a soma dos momentos sobre o eixo x, podemos determinar a força de reação NC

∑ M x = 0

5 N D + 10 N C - 5 ⋅ 800 = 0 N C = 5 ⋅ 800 - 5 N D 10 N C = 4000 - 5 ⋅ 266.67 10 N C = 266.67 l b

Finalmente, ao igualar a soma das forças na direção textitz a zero, podemos determinar a força de reação ND

∑ F Z = 0

N B + N C + N D - 800 = 0 N D = 800 - N B - N C N D = 800 - 266.67 - 266.67 N D = 266.66 l b

Passo 3

Ao analisar a junta B, podemos agora determinar as forças nos membros AB, BC e BD

Vamos supor que todos os membros estejam em tensão

Podemos notar que o membro BC é paralelo ao eixo y, portanto, podemos escrever força BC como

B C → = B C n B C → B C → = B C ( 0 i → + 1 j → + 0 k → ) l b

Também podemos notar que a força de reação NB é paralela ao eixo z, portanto, podemos escrever a força NB como

N → B = N B ( 0 i → + 0 j → + 1 k → ) l b N B → = 266.67 ( 0 i → + 0 j → + 1 k → ) b

Podemos escrever o vetor força AB como um produto de sua magnitude AB e um vetor unitário da direção da força n B A A → (uma vez que assumimos que o membro AB está na tensão, a direção da força vai do ponto B em direção a A)

A B → = A B n B →

´Podemos ver na figura que as coordenadas do ponto B e A são

B ( 0,0 , 0 )

A - 10 s i n ⁡ 60 ∘ 3 , 10 2 , 16 A ( - 2.89,5 , 16 )

Uma vez que conhecemos dois pontos da linha de ação, escrevemos n B → A como

n B → A = B A → B A ¯

= X A - X B i → + Y A - Y B j → + Z A - Z B k → X A - X B 2 + Y A - Y B 2 + Z A - Z B 2 = - 2.89 - 0 i → + 5 - 0 j → + 16 - 0 k → ( - 2.89 - 0 ) 2 + ( 5 - 0 ) 2 + ( 16 - 0 ) 2 = - 2.89 i → + 5 j → + 16 k → - 2.89 2 + 5 2 + 16 2 = - 0.170 i → + 0.294 j → + 0.941 k →

A B → = A B ( - 0.170 i → + 0.294 j → + 0.941 k → ) l b

Passo 4

Agora que escrevemos todas as forças como vetores, podemos escrever três equações de equilíbrio igualando a soma das forças a zero

∑ F = 0

A B → + B C → + B D → + N → B = 0 A B ( - 0.170 i → + 0.294 j → + 0.941 k → ) + B C ( 0 i → + 1 j → + 0 k → ) + B D ( - 0.866 i → + 0.500 j → + 0.000 k → ) + 266.67 ( 0 i → + 0 j → + 1 k → ) = 0 ( - 0.170 A B - 0.866 B D ) i → + ( 0.294 A B + 1 B C + 0.5 B D ) j → + ( 0.941 A B + 266.67 ) k → = 0

Agora temos 3 equações do equilíbrio

∑ F X = 0

- 0.170 A B - 0.866 B D = 0 (1)

∑ F Y = 0

0.294 A B + 1 B C + 0.5 B D = 0 (2)

∑ F Z = 0

0.941 A B + 266.67 = 0 (3)

Da equação (3) determinamos a força no membro AB

0.941 A B + 266.67 = 0                                                                                                                                           ( 3 ) A B = - 266.67 0.941 A B = - 283.39 l b

Da equação (1) determinamos a força do membro BD

- 0.170 A B - 0.866 B D = 0                                                                                                                           ( 1 ) B D = - 0.170 A B 0.866 B D = - 0.170 ( - 283.39 ) 0.866

B D = 55.63 l b T

Da equação (2) determinamos a força do membro BC

0.294 A B + 1 B C + 0.5 B D = 0                                                                                                             ( 2 ) B C = - 0.5 B D - 0.294 A B B C = - 0.5 ⋅ 55.63 - 0.294 ( - 283.39 )

B C = 55.50 l b T

Passo 5

Ao analisar a junta C, podemos agora determinar a força no membro CD

Podemos notar que a força de reação NC é paralela ao eixo z, portanto, podemos escrever a força NC como

N C → = N C ( 0 i → + 0 j → + 1 k → ) l b N C → = 266.67 ( i → + 0 j → + 1 k → ) l b N C → = ( 0 i → + 0 j → + 266.67 k → ) l b

Podemos escrever o vetor de força CD como um produto de sua magnitude CD e um vetor unitário de direção de força n C D C →

C D = C D n C D →

Podemos observar da figura que as coordenadas do ponto C e D

C ( 0,10,0 ) D ( - 8.66,5 , 0 )

Uma vez que conhecemos as duas linhas de ação, podemos escrever   n C → D como

n C D = C D → C D ¯

= X D - X C i → + Y D - Y C j → + Z D - Z C k → X D - X C 2 + Y D - Y C 2 + Z D - Z C 2 = ( - 8.66 - 0 ) i → + ( 5 - 10 ) j → + ( 0 - 0 ) k → ( - 8.66 - 0 ) 2 + ( 5 - 10 ) 2 + ( 0 - 0 ) 2 = - 8.66 i → - 5 j → + 0 k → 8.66 2 + 5 2 + 0 2 = - 0.866 i → - 0.500 j → + 0.000 k →

C D = C D ( - 0.866 i → - 0.500 j → + 0.000 k → ) l b

Passo 6

Podemos escrever o vetor de força CA como um produto de sua magnitude CA e um vetor unitário de direção de força n C A

A C → = A C n C →

Podemos ver da figura que as coordenadas dos pontos C e A são

C ( 0,10,0 ) A ( - 2.89,5 , 16 )

Uma vez que conhecemos dois pontos na linha de ação, escrevemos n C A → como

n C → A = C A → C A ¯

= X A - X C i → + Y A - Y C j → + Z A - Z C k → X A - X C 2 + Y A - Y C 2 + Z A - Z C 2 = ( - 2.89 - 0 ) i → + ( 5 - 10 ) j → + ( 16 - 0 ) k → ( - 2.89 - 0 ) 2 + ( 5 - 10 ) 2 + ( 16 - 0 ) 2 = - 2.89 i → - 5 j → + 16 k → 2.89 2 + 5 2 + 16 2 = - 0.170 i → - 0.294 j → + 0.941 k →

A C → = A C ( - 0.170 i → - 0.294 j → + 0.941 k → ) l b

Passo 7

Agora que escrevemos todas as forças como vetores, podemos escrever três equações de equilíbrio igualando a soma das forças a zero

∑ F = 0

A C → + B C → + C D + N → C = 0 A C ( - 0.17 i → + - 0.294 j → + 0.941 k → ) + B C ( 0 i → + 1 j → + 0 k → ) + C D ( - 0.866 i → - 0.5 j → + 0 k → ) + ( 0 i → + 0 j → + 266.67 k → ) = 0 ( - 0.17 A C - 0.866 C D ) i → + ( - 0.294 A C + 1 B C - 0.5 C D ) j → + ( 0.941 A C + 266.67 ) k → = 0

Agora temos 3 equações do equilíbrio

∑ F X = 0

- 0.17 A C - 0.866 C D = 0 (4)

∑ F Y = 0

- 0.294 A C + 1 B C - 0.5 C D = 0 (5)

∑ F Z = 0

0.941 A C + 266.67 = 0 (6)

Da equação (6), podemos determinar a força no membro AC

0.941 A C + 266.67 = 0                                                                   ( 4 ) A C = - 266.67 0.941 A C = - 283.39 l b

Por fim, da equação (4), podemos determinar a força no membro CD

- 0.17 A C - 0.866 C D = 0                                                       ( 4 ) C D = - 0.170 A B 0.866 C D = - 0.170 ( - 283.39 ) 0.866

C D = 55.63 l b T

Resposta

B C = 55.50 l b T B D = 55.63 l b T C D = 55.63 l b T

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