Enunciado

Expresse a força como um vetor cartesiano.

Passo 1

Fala ai galerinha bonita, tudo beleza? Nesse exercício aqui o enunciado nos deu uma força F atuando sobre um suporte como na figura abaixo:

E pediu pra gente encontrar a força F na forma de um vetor cartesiano.

Para determinar o vetor em forma cartesiana, existem duas formas, uma delas é por meio de trigonometria e a outra é determinando o vetor unitário da força.

Como assim vetor unitário?

O vetor unitário nada mais é que a um vetor de valor 1 , ou seja, multiplicar o valor de 900 N pelo vetor unitário resultará no vetor vec F_A B que desejamos, pois, será o vetor unitário que determinar direção e sentido e por ele ser unitário não estará alterando a real intensidade da nossa força.

Partiu determinar esse tal de vetor unitário então!!

Passo 2

Para determinar o vetor unitário, vamos primeiramente encontrar o vetor vec A B .

Para isto, temos que encontrar os pontos A e B pela figura. Lembrando que os termos são da forma ( x , y , z ) :

Para o ponto A :

A (2,0 , 4) m

E para o ponto B :

B (- 2,7 , 0) m

Observe que x nesse caso é negativo porque está no sentido negativo do eixo.

Ainda bem que enunciado nos deu esse desenho não é mesmo.

Passo 3

Como temos os pontos A e B , podemos determinar o vetor vec A B , que chamarei de r_A B .

Para determinar um vetor a partir de pontos a gente pega o ponto final e subtrai do inicial:

r_A B = vec B - vec A

Se a gente for expressar em termos de i , k e k vamos ter o seguinte:

r_A B = {(B_x - A_x) i + (B_y - A_y) j + (B_z - A_z) k}

Observe que:

A_x = 2

A_y = 0

A_z = 4

B_x = - 2

B_y = 7

B_z = 0

Substituindo:

r_A B = {(B_x - A_x) i + (B_y - A_y) j + (B_z - A_z) k}

r_A B = {(- 2 - 2) i + (7 - 0) j + (0 - 4) k}

r_A B = {- 4 i + 7 j - 4 k} m

Passo 4

Olha que bacana temos nosso vetor r_A B , agora determinaremos o nosso vetor unitário. Para fazer é só dividir o vetor pelo seu módulo

Pela seguinte fórmula:

u = (r_A B)/(|r_A B|)

O vetor unitário u sera determinado pela divisão do vetor r_A B e seu módulo.

Bem, o vetor nos já temos, falta determinar o módulo dele.

Determinando o módulo do vetor r_A B :

|r_A B| = sqrt(((- 4)^2 + (7)^2 + ( - 4)^2) = 9 m

Passo 5

Temos encontramos o vetor r_A B e calculamos o seu módulo, basta e finalmente determinar o vetor unitário u :

u = (r_A B)/(|r_A B|)

u = ({- 4 i + 7 j - 4 k})/(9) [(m)/(m)]

u = {- (4)/(9) i + (7)/(9) j - (4)/(9) k}

Perceba que estávamos trabalhando com unidades de metros e ao executar nosso vetor unitário, temos um vetor adimensional.

Passo 6

Temos o vetor unitário, e a intensidade da nossa força. Multiplicando intensidade F_A B pelo vetor unitário u resultará na nossa força em coordenadas cartesianas   vec F_A B .

vec F_A B = F_A B * u

vec F_A B = 900 * {- (4)/(9) i + (7)/(9) j - (4)/(9) k}

vec F_A B = {- 400 i + 700 j - 400 k} N

obs: Caso você desejar verificar se nosso resultando está correto, basta calcular o módulo deste vetor F_A B o resultado será sua intensidade de 900 N .

|vec F_A B| = sqrt(400^2 + 700^2 + (- 400)^2) = 900

Resposta

vec F_A B = {- 400 i + 700 j - 400 k} N

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