Enunciado

Em filmes do Velho Oeste, frequentemente se observa os caubóis prendendo seus cavalos simplemente dando poucas voltas da rédea em torno de uma barra horizontal e deixando a extremidade pendendo livremente como mostrado – sem nós! Se o comprimento pendurado da rédea tem uma massa de 0,060 kg e o número de voltas é como mostrado, que força trativa T o cavalo deve fazer na direção mostrada, para se libertar? O coeficiente de atrito entre a rédea e a barra de madeira vale 0,70.

Passo 1

Para que a corda escorregue e o cavalo consiga se soltar, a força T que ele faz deve superar o peso da corda pendurada e a força de atrito entre a corda e a barra. No limiar do escorregamento, ou seja, quando a corda está prestes a escorregar, a corda está em equilíbrio e a equação para a corda é:

ln ⁡ T 2 T 1 = μ β

Sendo T 2 e T 1 as trações maior e menor nas extremidades da corda, μ o coeficiente de atrito entre a corda e a superfície e β o ângulo total de giro da corda. Através dessa fórmula, seremos capazes de achar a força T .

Passo 2

A tração menor T 1 na corda é claramente o peso do trecho pendurado. Como sua massa é de 0,060 kg, multiplicamos pela aceleração da gravidade e obtemos T 1 :

T 1 = 0,06 × 9,81 = 0,589   N

O que queremos é achar a tração maior T 2 = T . Temos o coeficiente de atrito μ = 0,70 e devemos contar as voltas da corda na barra para determinar o ângulo total β .

Olhando a figura, se começarmos a contar a partir do traço verde temos até o vermelho duas voltas, e ainda falta uma parte. A outra parte corresponde a um ângulo de 60 ° = π / 3 , como mostra a figura:

Então o ângulo total é duas voltas mais π / 3 :

β = 2 × 2 π + π 3 = 4 π + π 3 = 12 π 3 + π 3 = 13 π 3

Passo 3

Agora só falta substituir os valores na fórmula:

ln ⁡ T 2 T 1 = μ β

⇒ ln ⁡ T 0,589 = 0,7 × 13 π 3 = 9,53

Para acharmos T passamos a fórmula para a forma exponencial:

T 0,589 = e 9,53 ⇒ T = 0,589 e 9,53

⇒ T = 8110   N = 8,11   k N

Resposta

T = 8,11   k N

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