Enunciado

O projeto de uma chave de correia para soltar filtro de óleo está mostrado na figura. Se o coeficiente de atrito entre a correia e o filtro vale 0,25, determine o valor mínimo de h que assegura que a chave não vai escorregar em torno do filtro, independentemente do módulo da força P . Despreze a massa da chave e considere que o efeito da pequena peça em A é equivalente àquele de uma volta de correia que começa na posição correspondente a três horas e segue no sentido horário.

Passo 1

Temos atuando no cabo da chave três forças: a carga P e as duas trações causadas pela correia em A e B . Primeiro vamos achar a relação entre essas duas trações. Usamos a fórmula para o equilíbrio de uma corda enrolada em torno de uma superfície:

ln ⁡ T 2 T 1 = μ β

Sendo T 2 e T 1 as trações maior e menor nas extremidades da correia, β o ângulo total de enrolamento do cabo e μ o coeficiente de atrito entre a correia e o filtro. Depois de encontrar a relação entre as trações T 1 e T 2 , fazemos o momento em torno do ponto de aplicação de P ser zero e então determinamos h . Fazemos o momento em torno de esse ponto pois P não entra nas contas, então P pode ser qualquer valor, como dito no enunciado.

Passo 2

Primeiro vamos definir o ângulo β que a correia cobre na superfície circular.

O triângulo mostrado na figura contem o ângulo suplementar a β , que é 180 ° - β ou π - β em radianos. Pelo triângulo retângulo, calculamos o cosseno de π - β :

cos ⁡ ( π - β ) = 45 45 + 33 = 45 78 = 0,5769

Então achamos o valor de π - β e consequentemente de β :

π - β = arccos ⁡ 0,5769 = 0,9559

⇒ β = π - 0,9559 = 2,186

Passo 3

Então aplicamos a fórmula, e descobrimos T 2 em função de T 1 :

ln ⁡ T 2 T 1 = μ β

⇒ ln ⁡ T 2 T 1 = 0,25 × 2,186 = 0,5465

Passando para a forma exponencial:

T 2 T 1 = e 0,5465 = 1,727

⇒ T 2 = 1,727 T 1

Passo 4

Agora vamos representar o cabo em diagrama de corpo livre, para fazer o momento em torno do ponto de aplicação de P ser zero. Pela configuração do cabo, a tração maior deve ser pra cima, pois a diferença entre a componentes verticais de T 2 e T 1 deve ser igual a P .

O ângulo α é encontrado facilmente pelo triângulo retângulo:

π - β + α + π 2 = π ⇒ 3 π 2 - β + α = π

⇒ α = β - π 2 = 2,186 - π 2 = 0,6152

O ângulo θ é obtido desenhando o mesmo triângulo retângulo na parte de baixo:

Achamos θ através do seno:

sen ⁡ θ = 45 45 + 7 = 45 52 = 0,8654

Ainda estamos representando os ângulos em radianos. Não precisamos do valor exato de   θ pois só usaremos seu seno, para calcular a componente vertical de T 1 . Agora fazemos o momento em torno do ponto de aplicação de P ser zero:

∑ M = 0 ⇒ T 1 sen ⁡ θ 26 + h - T 2 sen ⁡ α h = 0

Substituímos T 2 por   1,727 T 1 e os senos:

0,8654 T 1 26 + h = 1,727 T 1 sen ⁡ 0,6152 h = 0,9967 T 1 ( h )

Agora cortamos T 1 :

0,8654 26 + h = 0,9967 h

⇒ 22,50 + 0,8654 h = 0,9967 h

⇒ 22,50 = 0,9967 - 0,8654 h

⇒ h = 22,50 0,1313

⇒ h = 171   m m

Resposta

h = 171   m m

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