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Um foguete lançado verticalmente para cima a partir do pólo norte alcança uma velocidade de 27   000   k m / h em uma altitude de 350   k m quando se esgota o seu combustível. Calcule a altura vertical adicional h atingida pelo foguete antes que este comece a sua descida de volta à terra. A fase de vôo sem propulsão ocorre acima da atmosfera. Consulte a Fig. 1/1 na escolha adequada do valor da aceleração gravitacional e utilize o raio médio da terra da tabela D/2. (Observação: o lançamento a partir do pólo da terra evita ter de considerar o efeito da rotação da terra).

Passo 1

Vamos entender o problema: o foguete está em uma certa altitude quando seu combustível acaba, mas ele ainda tem uma certa velocidade apontando para cima.

Sem o impulso do combustível, a gravidade vai começar a frear o foguete, até que ele finalmente pare e comece a cair.

Nosso objetivo é saber o seguinte: qual é a distância que o foguete percorre até parar totalmente antes de começar a cair?

Seria uma questão bem simples se não fosse uma coisa: temos que considerar a variação na aceleração da gravidade. Vamos chamar de g 0 a aceleração da gravidade na superfície da Terra:

g 0 = G M R 2

E então para altitudes maiores, podemos escrever o seguinte:

g = G M R + r 2 = g o R 2 R + r 2

E nesse caso específico, o nosso interesse mesmo é saber o quanto o foguete anda acima da altitude H = 350   k m , então vamos reescrever a expressão:

r = H + y

g = g o R 2 R + H + y 2

Passo 2

Ok, essa é a fórmula para a aceleração que age sobre o foguete. Precisamos relacionar essa aceleração com a distância percorrida conforme a velocidade vai de 27.10 3   k m / h até zero.

Vamos lembrar da definição da aceleração:

a = d v d t

E pela regra da cadeia podemos escrever o seguinte:

a = d v d y d y d t = v d v d y  

E então:

a   d y = v   d v

Agora é só substituir a expressão para a aceleração:

a = - g

- g o R 2 R + H + y 2   d y = v   d v

E vamos integrar, lembrando que a altitude vai de y = 0 até y = h enquanto v vai de v 0 = 7,5.10 3   m / s até v 0 = 0 .

∫ 0 h - g o R 2 R + H + y 2   d y = ∫ v 0 0 v   d v

Vamos resolver essa integral.

Passo 3

Começamos com a integral da velocidade, que é mais simples:

∫ v 0 0 v   d v = 0 2 2 - v 0 2 2 = - v 0 2 2

E substituindo na equação de cima:

- v 0 2 2 = ∫ 0 h - g o R 2 R + H + y 2   d y

E agora eliminando o sinal negativo e resolvendo a integral da direita:

v 0 2 2 = - g 0 R 2 1 R + H + h - 1 R + H + 0

Agora vamos juntar essas duas frações:

v 0 2 = - 2 g 0 R 2 - h R + H + h R + H

Passo 4

Como nosso objetivo é calcular a altura h , vamos isolar essa variável na expressão:

v 0 2 = 2 g 0 R 2 h R + H + h R + H

v 0 2 R + H + h R + H = 2 g 0 R 2 h

h   v 0 2 R + H + v 0 2 R + H 2 = 2 g 0 R 2 h

h = v 0 2 R + H 2 2 g 0 R 2 - v 0 2 R + H

E agora é só substituir os valores numéricos (consultando a tabela e a imagem mencionadas no enunciado):

g 0 = 9,83226   m / s 2

R = 6,371   .   10 6   m

H = 350   .   10 3   m

h = 7,5.10 3 2 6,371.10 6 + 350.10 3 2 2 ( 9,83226 ) ( 6,371.10 6 2 - 7,5.10 3 2 6,371.10 6 + 350.10 3

h = 6048078,5   m ≅ 6,048   .   10 6   m

Pronto!

Resposta

O foguete atinge uma altura adicional de aproximadamente 6,048   .   10 6   m .

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