Enunciado

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Para um determinado intervalo de movimento, o pino P é forçado a se deslocar na ranhura fixa parabólica pela guia vertical ranhurada, que se desloca na direção x na taxa constante de 20   m m / s . Todas as medidas estão em milímetros e segundos. Calcule os módulos da velocidade v e da aceleração a do pino P quando x = 60   m m .

Passo 1

A primeira informação que o enunciado dá é uma relação entre as coordenadas do pino:

y = x 2 160

Além disso temos a velocidade do pino na direção x :

x ˙ = 20   m m / s

Nosso objetivo é calcular a velocidade e a aceleração do pino. Isso quer dizer que precisamos achar os valores de x ˙ , y ˙ , x ¨ e y ¨ .

Passo 2

Já temos x ˙ , então vamos derivar a primeira relação para encontrar y ˙ :

y = x 2 160

d d t y = d d t x 2 160

y ˙ = 1 160 d x 2 d t = 1 160 d x 2 d x   d x d t

y ˙ = 1 80 x x ˙

E então a fórmula da velocidade é:

v = ( x ˙ ) 2 + 1 80 x x ˙ 2

No caso em que x ˙ = 20   m m / s e x = 60   m m temos:

v = 25   m m / s

Passo 3

Agora fazemos fazer algo bastante parecido para a aceleração. Começando pela coordenada y :

y ¨ = d d t 1 80 x x ˙

y ¨ = 1 80 ( x x ¨ + x ˙ x ˙ )

Mas como x ˙ é constante, então x ¨ = 0 .

y ¨ = 1 80 x ˙ 2

Por isso a aceleração é simplesmente:

a = y ¨ = 1 80 20 2 = 5   m m / s 2

Resposta

A velocidade tem módulo v = 25   m m / s e a aceleração é a = 5   m m / s 2 .

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