Enunciado

47. A força F → = 6 i + 8 j + 10 k   N cria um momento em relação ao ponto O de M 0 = - 14 i + 8 j + 2 k   N ⋅ m . Se a força passa por um ponto tendo uma coordenada x de 1   m , determine as coordenadas y e z do ponto. Além disso, observando que M 0 = F d , determine a distância d do ponto O à linha de ação de F .

Passo 1

Para achar o resultado que o enunciado pede, vamos usar a forma de calcular o momento das forças usando o produto vetorial que é dado da seguinte maneira:

M 0 = r → × F → = i j k r x r y r z F x F y F z

Onde:

r x ,   r y   e   r z representam as coordenadas do vetor que vai da origem da rotação até o ponto de aplicação da força;

F x ,   F y   e   F z são as componentes da força F aplicada.

O enunciado já nos forneceu o r x ( x = 1 ), agora só basta achar as outras componentes, para isso abrimos essa expressão acima com o que nos foi fornecido e assim descobrindo o valor das outras componentes de r .

Passo 2

Vamos abrir a conta acima com o que temos então.

M 0 = r → × F → = i j k r x r y r z F x F y F z

⇒ { - 1 4 i + 8 j + 2 k } = i j k 1 r y r z 6 8 1 0

⇒ - 1 4 i + 8 j + 2 k = r y ⋅ 1 0 - ( 8 ⋅ r z ) i - 1 ⋅ 1 0 - ( r z ⋅ 6 ) j + 8 ⋅ 1 - ( r y ⋅ 6 ) k

⇒ - 1 4 i + 8 j + 2 k = 10 r y - 8 r z i - 1 0 - 6 r z j + 8 - 6 r y k

⇒ - 1 4 i + 8 j + 2 k = 10 r y - 8 r z i + - 1 0 + 6 r z j + 8 - 6 r y k

Então temos que:

10 r y - 8 r z = - 1 4

- 1 0 + 6 r z = 8

8 - 6 r y = 2

Passo 3

Resolvendo esse pequeno sistema.

10 r y - 8 r z = - 1 4

- 1 0 + 6 r z = 8 ⇒ 6 r z = 18 ⇒ r z = 3

8 - 6 r y = 2 ⇒ 6 r y = 8 - 2 ⇒ 6 r y = 6 ⇒ r y = 1

Assim, encontramos:

r y = 1

r z = 3

Passo 4

Agora para achar d temos a seguinte fórmula:

M 0 = F d

Mas para usar essa fórmula precisamos usar os valores em módulo dos vetores que temos da força e do momento.

Então vamos calcular primeiro o módulo do vetor momento.

M 0 → = - 14 2 + 8 2 + 2 2

= 196 + 64 + 4

264 = 16,2

Agora vamos calcular o módulo do vetor força.

F → = 6 2 + 8 2 + 10 2

= 36 + 64 + 100

200 = 14,1

Assim usando a fórmula mencionada acima, temos:

M 0 = F d

⇒ 16,2 = 14,1 ⋅ d

⇒ d = 16,2 14,1 = 1,14

Resposta

Assim, temos que:

y = 1

z = 3

d = 1,14   m

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