Enunciado

A força trativa no cabo de sustentação A B vale 10   k N . Escreva, como um vetor T → , a força que o cabo exerce sobre a haste B C . Determine os ângulos θ x , θ y e θ z que a linha de ação de T → faz com os eixos x , y e z .

Passo 1

Vamos começar escrevendo um vetor unitário na direção de B A , precisamos das coordenadas desses dois pontos:

A = ( 4   ,   0   ,   5 )

B = ( 0 ,   7,5   ,   0 )

B A → = 4 - 0 i ^ + 0 - 7,5 j ^ + 5 - 0 k ^

B A → = 4 i ^ - 7,5 j ^ + 5 k ^

E agora encontramos o vetor unitário se dividirmos B A → pelo próprio módulo:

B A ^ = B A → B A → = 4 i ^ - 7,5 j ^ + 5 k ^ 4 2 + 7,5 2 - 5 2

B A ^ = 1 97,25 4 i ^ - 7,5 j ^ + 5 k ^

Passo 2

Agora podemos encontrar a força T → se multiplicarmos o seu módulo T pelo vetor unitário B A ^ :

T → = T B A ^

T → = 10 1 97,25 4 i ^ - 7,5 j ^ + 5 k ^

T → = 10 0,406   i ^ - 0,761   j ^ + 0,507   k ^   k N

T → = 4,06   i ^ - 7,61   j ^ + 5,07   k ^   k N

Passo 3

Agora podemos calcular os ângulos que o vetor forma com cada um dos eixos usando a seguinte fórmula:

cos ⁡ θ i = T i T

Que é uma consequência da definição do produto escalar. Agora vamos aplicar essa fórmula a cada uma das componentes:

cos ⁡ ( θ x ) = T x T = 4,06 10 = 0,406

cos ⁡ ( θ y ) = T y T = - 7,61 10 = - 0,761

cos ⁡ ( θ z ) = T z T = 5,07 10 = 0,507

E agora é só calcular os ângulos usando a calculadora:

θ x = 66,0 °

θ y = 139,5 °

θ z = 59,5 °

Resposta

A força é T → = 4,06   i ^ - 7,61   j ^ + 5,07   k ^   k N e os ângulos são θ x = 66,0 ° , θ y = 139,5 ° e θ z = 59,5 ° .

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Determine os ângulos de direção coordenados da força F 1 e os indique na figura.
O mastro está submetido às três forças mostradas. Determine os ângulos de direção coordenados α 1 , β 1 , γ 1 de F 1 , de modo que a força resultante que atua no mastro seja zero.
Se a força resultante que atua sobre o suporte é F R = - 300 i + 650 j + 250 kN , determine a intensidade e os ângulos de direção coordenados de F .
O mastro está submetido às três forças mostradas. Determine os ângulos de direção coordenados α 1 , β 1 , γ 1 de F 1 , de modo que a força resultante que atua no mastro seja F R = 350 iN .
A engrenagem está submetida às duas forças caudadas pelo contato com outras engrenagens. Determine a resultante das duas forças e expresse o resultado como um vetor cartesiano.