Enunciado

Uma força vertical de 4kN é aplicada no ponto A de um componente de maquina mostrado. Determinar as tensões principais e a máxima tensão de cisalhamento no:

  1. Ponto H
  2. Ponto K

Passo 1

Temos dois objetivos, que são, determinar as tensões principais e a máxima tensão cisalhante nos pontos H e K para isso precisamos fazer o seguinte:

  • Levar todas as forças com seus respectivos momentos fletores até o ponto H e K
  • Com todas as ações no ponto H e k descartar a parte da seção onde as forças estavam
  • Construir o estado plano de tensões no ponto H e K
  • Calcular a máxima tensão cisalhante e as tensões principais nos pontos H e K.

Sabendo isso vamos ao nosso primeiro passo:

Passo 2

Vamos levar as forças até a seção com as suas respectivas ações ligadas, se fizermos um elemento unifilar teremos que:

Levando a carga de 4   k N até a seção, teremos que:

Assim a resultante é dada por:

Agora que temos as ações que agem na estrutura, podemos para de olhar a seção como unifilar e podemos olhar ela como uma seção retangular, sendo assim teremos que:

Agora vamos analisar o que cada esforço irá produzir na nossa seção H:

  • Como a carga de 4 k N está na vertical e o ponto H está no topo da seção, podemos considerar que o cortante não irá gerar tensão de cisalhamento no ponto H
  • O momento torsor de 0,14   k N m irá gerar uma tensão cisalhante no ponto H
  • O momento fletor 0,4 6   k N m vai gerar uma tensão normal no ponto H.
  • Assim as forças que geram algo no ponto H são:

    Agora vamos analisar o que cada esforço irá produzir na nossa seção K:

  • Como a carga de 4 k N está na vertical e o ponto K está na lateral, logo, terá tensão de cisalhamento na mesma.
  • O momento torsor de 0,14   k N m irá gerar uma tensão cisalhante no ponto K
  • O momento fletor 0,4 6   k N m não vai gerar uma tensão normal no ponto K, já que K está sobre a LN.

Assim as forças que geram algo no ponto K são:

Passo 3

Se já temos os esforços, podemos calcular as tensões que cada um deles produz em cada ponto:

  • Ponto H

Vamos começar pelas tensões normais:

  • σ x
  • Para a tensão normal, é importante lembrar que a fórmula é dada por:

    σ x = - M y I

    Temos o nosso momento fletor:

    M = - 0,4 6   k N m = - 4 60   k N m m

    A distância em y é o valor de metade da altura da seção, que é dado por:

    y = 3 0 2 = 15   m m

    E o momento de inercia da seção vazada é dada por:

    I = b h 3 12 = 30   .   3 0 3 12 = 67500   m m 4

    σ x = - - 4 60 .     15 67500   = 0,102 k N m m 2 = 102   M P a  

    Ou seja, esse esforço, no nosso elementinho, no ponto H, gera uma tração na direção X, que podemos descrever como:

    Vamos para a tensão cisalhante:

  • Devido ao momento torsor
  • Para a tensão cisalhante devido ao momento torsor, é importante lembrar que a fórmula para seções retangulares é dada por:

    τ x y = T c 1 a b 2

    a b = 30 30 = 1

    c 1 = 0,208

    Temos o nosso momento fletor:

    T = 0,14   k N m = 140   k N m m

    E a tensão cisalhante é dada por:

    τ x y = 140 0,208   .     30   .     30 2 = 0,0249 k N m m 2 = 24,9   M P a  

    Ou seja, esse esforço, no nosso elementinho, no ponto H, gera uma tensão cisalhante no nosso ponto H

    Sabemos que a tensão máxima cisalhante é dada por:

    R = τ x y ( m a x ) = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 = 102 - 0 2 2 + 24,9 2 = 56,75   M P a

    Para as tensões principais precisamos da tensão média dada por:

    σ m e d = σ x + σ y 2 = 102 2 = 51

    Assim teremos que:

    σ 1 = σ m e d + R = 51 + 56,75 = 107,8   M P a

    σ 3 = σ m e d + R = 51 - 56,75 = - 5,8   M P a

    Passo 4

    Finalizado o ponto H podemos partir para o ponto K, que podemos perceber o seguinte, ele só possui ação do momento torsor e do cortante, com isso podemos calcular apenas as tensões cisalhantes que agem no ponto K, assim teremos que:

  • Ponto K
  • Devido ao momento torsor
  • Para a tensão cisalhante devido ao momento torsor, é importante lembrar que a fórmula para seções retangulares é dada por:

    τ x y = T c 1 a b 2

    a b = 30 30 = 1

    c 1 = 0,208

    Temos o nosso momento fletor:

    T = 0,14   k N m = 140   k N m m

    E a tensão cisalhante é dada por:

    τ x y = 140 0,208   .     30   .     30 2 = 0,0249 k N m m 2 = 24,9   M P a  

    Ou seja, esse esforço, no nosso elementinho, no ponto K, gera uma tensão cisalhante no nosso ponto H

  • Devido ao cortante

Para a tensão cisalhante devido ao cortante, é importante lembrar que a fórmula é dada por:

τ x y = V S I B

Temos o nosso cortante:

V = 4   k N

B   é a espessura da seção:

B = 30 m m

E o momento de inercia da seção vazada é dada por:

I = b h 3 12 = 30   .   3 0 3 12 = 67500   m m 4

Assim o nosso momento estático será dado por:

S = A y = 30   .     15   .   7,5 = 3375   m m 3

τ x y = V S I B = 4   .   3375   67500   .     30 = 0,0067 k N m m 2 = 6,7   M P a

Ou seja, esse esforço, no nosso elementinho, no ponto K, gera uma tensão cisalhante no nosso ponto K contrária ao que definimos, sendo assim teremos que:

Sendo assim, se somarmos as tensões cisalhantes, o nosso elemento passara a ser o seguinte:

Sabemos que a tensão máxima cisalhante é dada por:

R = τ x y ( m a x ) = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 = 0 - 0 2 2 + 31,6 2 = 31,6   M P a

Para as tensões principais precisamos da tensão média dada por:

σ m e d = σ x + σ y 2 = 0

Assim teremos que:

σ 1 = σ m e d + R = 0 + 31,6 = 31,6 M P a

σ 3 = σ m e d + R = 0 - 31,6 = - 31,6   M P a

Resposta

  1. τ x y ( m a x ) = 56,8   M P a

    σ 1 = 107,8   M P a

    σ 3 = - 5,8   M P a

τ x y ( m a x ) = 31,6   M P a

σ 1 = 31,6   M P a

σ 3 = - 31,6   M P a

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