Enunciado

Quais das forças a seguir são conservativas? No caso de serem conservativas, determine a energia potencial U(r).

  1. Fx = ayz + bx + c, Fy = axz + bz, Fz = axy + by.
  2. Fx = -ze-x, Fy = ln z, Fz = e-x + y/z.
  3. F = era/r.

Onde a, b e c são constantes.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de mecânica Newtoniana.

Sabemos que F é uma força conservativa quando existe uma função potencial não singular U(x) satisfazendo F(x) = –grad(U(x)). Então, se F é conservativo, suas componentes satisfazem a seguinte relação:

d F x d y = d F y d x

Passo 2

Item a

Temos que:

d F x d z = a y = d F z d x   e   d F y d z = a x + b = d F z d y

Ou seja, a força é conservativa.

Com as funções fornecidas no enunciado, separamos as variáveis e integramos.

Para Fx:

F x = - d U d x = a y z + b x + c = > U = - a y z x - b x 2 2 - c x + f 1 ( y , z )

Para Fy:

F y = - d U d y = a x z + b z = > U = - a x z y - b z y + f 2 ( x , z )

Para Fz:

F z = - d U d z = a x y + b y = > U = - a x y z - b y z + f 3 ( y , z )

A partir desses três resultados temos que a energia potencial é dada por:

U x , y , z = - a x y z - b y z - c x 2 - b x 2 2 + c

Com c uma constante arbitrária.

Passo 3

Item b

Temos que:

d F x d y = 0 = d F y d x ; d F x d z = - e - x = d F z d x   e   d F y d z = 1 z = d F z d y

Ou seja, a força é conservativa.

Com as funções fornecidas no enunciado, separamos as variáveis e integramos.

Para Fx:

F x = - d U d x = - z e - x = > U = z e - x + f 1 ( y , z )

Para Fy:

F y = - d U d y = ln ⁡ z = > U = - y l n   z + f 2 ( x , z )

Para Fz:

F z = - d U d z = e - x + y z = > U = - z e - x - y l n   z + f 3 ( y , z )

A partir desses três resultados temos que a energia potencial é dada por:

U x , x , z = - z e - x - y l n   z + c

Com c uma constante arbitrária.

Passo 4

Item c

A força é conservativa e o potencial é dado por:

F = - d U d r = a r e r = > U = - a ∫ 0 r 1 r d r = - a l n   r

Resposta

Ver passo a passo.

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