Enunciado

O caminhão-plataforma parte do repouso em uma estrada cujo raio de curvatura constante é 30   m e cujo ângulo de inclinação lateral é 10 ° . Se a aceleração constante do caminhão para frente é 2   m / s ² , determine o tempo t após o início do movimento no qual o caixote sobre a plataforma começa a deslizar. O coeficiente de atrito estático entre o caixote e a plataforma do caminhão é μ e = 0,3 , e o movimento do caminhão ocorre em um plano horizontal.

Passo 1

Vamos definir algumas direções nessa situação:

E essas forças precisam estar equilibradas por uma força de atrito que vai estar no plano da carroceria do caminhão.

Vamos considerar então que ela tem duas componentes: uma F n na direção da reta pontilhada n , e uma F t na direção do movimento do caminhão, perpendicular ao plano da página.

Passo 2

Então vamos escrever as condições para que o sistema fique em equilíbrio.

Na direção da reta y , a soma das forças é:

∑ F y = N cos ⁡ 10 ° - F n sen ⁡ 10 ° - m g = 0

Na direção da reta n tem que haver uma resultante centrípeta, então:

∑ F n = N sin ⁡ 10 ° + F n cos ⁡ 10 ° = m v 2 r

Mas como a = 2   m / s 2 e v 0 = 0 , sabemos que v = v 0 + a t ⇒ v = 2 t , então:

∑ F n = N sin ⁡ 10 ° + F n cos ⁡ 10 ° = 4 m t 2 r

E na direção perpendicular ao plano da página temos apenas o movimento do caminhão

∑ F t = F t - m a = 0

Então ficamos com o seguinte sistema:

N cos ⁡ 10 ° - F n sen ⁡ 10 ° - m g = 0 N sin ⁡ 10 ° + F n cos ⁡ 10 ° = 4 m t 2 r F t = 2 m

Passo 3

Podemos usar as duas primeiras equações para calcular os valores de F n e N :

N cos ⁡ 10 ° - F n sen ⁡ 10 ° = m g

N sin ⁡ 10 ° + F n cos ⁡ 10 ° = 4 m t 2 r

Precisamos multiplicar a equação de cima por sin ⁡ 10 ° , e a de baixo por cos ⁡ 10 ° , e então subtrair a primeira da segunda:

F n sen 2 ⁡ 10 ° + cos 2 ⁡ 10 ° = 4 m t 2 r cos ⁡ 10 ° - m g sen ⁡ 10 °

E então:

F n = 4 m t 2 r cos ⁡ 10 ° - m g sen ⁡ 10 °

E fazendo o contrário para achar a normal:

N = 4 m t 2 r sin ⁡ 10 ° + m g cos ⁡ 10 °

Com isso já temos as fórmulas para F n , N e F t .

Passo 4

Conforme falamos antes, as forças F n e F t são as duas componentes da força de atrito, ou seja:

F a t = F n 2 + F t 2

Mas pela definição da força de atrito:

F n 2 + F t 2 = μ s N 2

4 m t 2 r cos ⁡ 10 ° - m g sen ⁡ 10 ° 2 + 2 m 2 = μ s 2 4 m t 2 r se n ⁡ 10 ° + m g cos ⁡ 10 ° 2

Podemos dividir tudo pela massa:

4 t 2 r cos ⁡ 10 ° - g sen ⁡ 10 ° 2 + 4 = μ s 2 4 t 2 r s e n ⁡ 10 ° + g cos ⁡ 10 ° 2

E agora precisamos resolver para encontrar o valor de t .

Passo 5

Vamos começar abrindo os parênteses:

4 t 2 r cos ⁡ 10 ° - g sen ⁡ 10 ° 2 + 4 = μ s 2 4 t 2 r sen ⁡ 10 ° + g cos ⁡ 10 ° 2

4 t 2 r cos ⁡ 10 ° - g sen ⁡ 10 ° 2 - μ s 2 4 t 2 r sen ⁡ 10 ° + g cos ⁡ 10 ° 2 + 4 = 0

16 t 4 r 2 cos 2 ⁡ 10 ° - μ s 2 sen 2 ⁡ 10 ° - 8 t 2 r g cos ⁡ 10 ° sen ⁡ 10 ° 1 + μ s 2 + g 2 sen 2 ⁡ 10 ° - μ s 2 cos 2 ⁡ 10 ° + 4 = 0

E agora vamos substituir os valores numéricos:

0,017 193 t 4 - 0,48762 t 2 - 1,4982 = 0

E agora podemos fazer uma substituição simples:

z = t 2

0,017193 z 2 - 0,48762 z - 1,4982 = 0

E resolver como se fosse uma equação quadrática:

z = 0,48762 ± 0,48762 2 - ( 4 ) ( 0,017193 ) ( - 1,4982 ) 0,034386

z = 0,48762 ± 0,583787182 0,034386

E descartando a solução negativa:

z = 31,1582

t = z = 5,58   s

E esse é o instante de tempo em que o bloco começa a deslizar!

Resposta

O instante em que começa a haver deslizamento é t = 5,58   s .

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