Enunciado

O guincho da ponte rolante está projetado para uma capacidade máxima de 10   k N e a viga em I uniforme tem uma massa de 200   k g . (a) Faça um gráfico do módulo R da força no pino em A em função de x , ao longo da faixa de operação entre x = 0,2   m e x = 3,8   m . No mesmo sistema de eixos, faça um gráfico das componentes x e y da reação do pino em A . (b) Determine o valor mínimo de R e o valor correspondente de x . (c) O pino em A deve ser projetado para que valor de R ? (Use g = 10   m / s 2 )

Passo 1

(a) Nosso primeiro objetivo é encontrar R , A y e A x . Vamos desenhar essas e outras forças que atuam no sistema:

Se calcularmos o momento em relação ao ponto A nós vamos excluir todas as forças desconhecidas, exceto a componente de T que é perpendicular à barra:

∑ M A = 0

∑ M A = T sen ⁡ 30 ° - 10   x - ( 200 ) ( 10 )

T = 2 3 ( 10 x + 4 )

Não esqueça de usar g = 10   m / s 2 , conforme a orientação do enunciado.

Passo 2

Agora que encontramos uma das variáveis desconhecidas, vamos usar a condição de equilíbrio das forças para calcular A x e A y .

∑ F x = 0

∑ F x = T cos ⁡ 30 ° - A x

A x = 2 3 cos ⁡ 30 ° ( 10 x + 4 )

A x = 1 3 ( 10 x + 4 )

E agora a na direção y :

∑ F y = 0

∑ F y = T sen ⁡ 30 ° - 2 - 10 + A y

A y = 12 - 2 3 10 x + 4 sen ⁡ 30 ° = 12 - 10 3 x - 4 3

A y = 1 3 - 10 x + 32

Com isso já podemos escrever as funções e gráficos de R , A x e A y :

R = A x 2 + A y 2 = 1 3 10 x + 4 2 + 1 9 - 10 x + 32 2

Como esse problema é feito para ser resolvido no computador, nem precisamos simplificar mais essa expressão:

A x = 1 3 ( 10 x + 4 ) A y = 1 3 - 10 x + 32 R = 1 3 10 x + 4 2 + 1 9 - 10 x + 32 2

E agora é só jogar isso no gráfico no intervalo 0,2 ≤ x ≤ 3,8   m :

Onde a linha verde representa R , a linha azul representa A y e a linha vermelha representa A x .

Passo 3

(b) Em seguida queremos encontrar o valor mínimo de R , e o valor de x em que isso ocorre. Lembre-se de que esse problema é feito para ser resolvido no computador.

É só dar um zoom no gráfico para encontrar o ponto de mínimo:

Ou seja:

R m í n = 10,39   k N

x m í n = 0,5   m

Passo 4

(c) Como a faixa de operação do sistema é 0,2 ≤ x ≤ 3,8   m , o pino deve ser projetado para sustentar o caso limite, ou seja, o caso em que a força R é máxima nesse intervalo

Olhando para o nosso gráfico é fácil ver que isso acontece quando x também é máximo, ou seja:

x m á x = 3,8   m

R m á x = R 3,8 = 24,3   k N

Resposta

(a) Gráfico.

(b) x m í n = 0,5   m e R m í n = 10,39   k N

(c) x m á x = 3,8   m e R m á x = 24,3   k N .

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