Enunciado

Determine a coordenada z do centroide do volume gerado pela revolução de 180° da área sombreada em torno do eixo z - .

Passo 1

Sabendo que as equações para encontrar o centroide é dado por:

  z - =   ∫ z c d V V  

Dessa maneira, vamos primeiro encontrar o volume do problema.

Passo 2

Mas antes vamos escolher um elemento de volume, para assim podermos integrar, com isso:

Pronto! Escolhido o elemento de volume vamos integrar ele em relação a z e temos a nossa área. Como também, note que se olharmos lateralmente vemos um semiciclo, com profundidade z. De modo que, sabermos a área de um semiciclo:

A = 1 2 π r 2

Como o raio está na direção x, temos:

A = 1 2 π x 2

Assim sendo se multiplicarmos pela profundidade, que é o eixo z, teremos o volume. Dessa maneira o volume é dado por:

d V = 1 2 π x 2 d z

Logo,

V = ∫ d V = ∫ 0 a 1 2 π x 2 d z

Agora precisamos deixar em função de z para podermos integrar, o problema já nos informa a função que representa a curva que é parabólica, dessa maneira é só substituir os pontos que temos a nossa função, logo:

z = a b 2 x 2

x 2 = z b 2 a

Passo 3

Tendo a função que descreve o nosso problema fica mais fácil de integrar, dessa maneira o volume é dado por:

V =   ∫ 0 a 1 2 π x 2 d z =   ∫ 0 a 1 2 π z b 2 a d z

Agora basta resolvermos essa integral que teremos nosso volume, sendo que:

V = π b 2 2 a ∫ 0 a z d z = π b 2 2 a z 2 2 a 0

V = π 4 a b 2

Passo 4

Ante de aplicar a equação para achar o centroide na coordenada z, vamos resolver a integral:

∫ z c d V

Depois é só dividir pelo volume que teremos o ponto. Como o z c = z e d V = π 2 b 2 z a d z . Temos:

∫ z c d V = ∫ 0 a z * π 2 b 2 z a d z  

Logo,

∫ z c d V = π b 2 2 a ∫ 0 a z 2 d z = π b 2 2 a z 3 3 a 0 = π b 2 a 2 6

Pronto! Só substituir na equação, se tiver alguma dificuldade na resolução das integrais ou na parte que obtém as equações das funções parabólicas recomendo que revise o assunto de substituição em cálculo e introdução a funções que encontra na própria plataforma. Agora vamos substituir:

x - = ∫ z c d V V = π b 2 a 2 6 / π 4 a b 2 = 2 a 3

Resposta

z - = 2 a 3  

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Localize o centroide x ¯ da área.
Determine o centro de massa do elemento homogêneo encurvado na forma de um arco circular.
Localize o centroide x ¯ da área sombreada.
Localize o centroide y ¯ da área.
Localize o centroide x ¯ ,y ¯ do elemento uniforme. Calcule as integrais usando um método numérico.