Enunciado

A haste O A e o disco circular articulado são liberados a partir do repouso na posição mostrada e oscilam no plano vertical em torno do mancal fixo em O . A haste O A de 6   kg tem um raio de giração em relação a O de 375   mm . O disco tem uma massa de 8   kg . Supõe-se que os dois mancais estão sem atrito. Encontre a força F O exercida em O sobre a haste ( a ) imediatamente após a liberação e ( b ) quando O A oscila através da posição vertical O A ' .

Passo 1

Uma haste está presa a um pino fixo em O e a um disco em A . O conjunto é solto quando a haste e o disco estão horizontais.

O peso P h da haste e o peso P d do disco irão girar o conjunto ao redor do pino em O .

Queremos saber qual é a força F 0 no pino O em duas situações:

  • Caso A : imediatamente após soltarmos o conjunto.
  • Caso B : quando o conjunto fica vertical, ao passar em A ' .

Dados da questão:

  • Massa da haste: m h = 6   kg .
  • Raio de giração da haste em relação a O : R h O = 375   mm
  • Distância do centro de massa da haste ( G ) até O : r h = 250   mm .
  • Massa do disco: m d = 8   kg .
  • Raio do disco: R d = 300   mm
  • Distância do centro de massa do disco ( A ) até O : r d = 600   mm

Com calma, vamos ver um caso de cada vez! O plano é escrever as equações da dinâmica do problema e resolver para achar F O !

Passo 2

Primeiro o Caso A . Vamos ver o diagrama de corpo livre.

Vamos usar o ponto O como referencial e escrever as equações da dinâmica. Primeiro a versão linear:

∑ F e x t = - m h a h - m d a d

Os sinais negativos são porque estamos supondo que as acelerações tangenciais da haste a h e do disco a d vão ser para baixo ( - y ) ! O conjunto vai girar no sentido horário!

F O - P h - P d = - m h a h - m d a d

As forças são simplesmente os pesos: P h = m h g , P d = m d g .

Mas aquelas acelerações ali são um problema... não fazemos ideia do valor delas. Vamos dar uma melhorada e pensar na aceleração angular α ! Ela é a mesma para a haste e o disco (só o ângulo importa!), aí já fica mais fácil. Podemos passar da aceleração linear para angular multiplicando pela distância até o ponto O !

F O - m h g - m d g = - m h r h α - m d r d α

Show, agora temos duas incógnitas. O F O que queremos descobrir e esse α aí. Vamos ver como fica a dinâmica na versão angular, porque aí com certeza a aceleração angular vai aparecer lá.

Passo 3

Usando o ponto O como referencial, a dinâmica angular nos diz que

∑ M O = - I h O α - I d O α

Os sinais negativos são porque estamos supondo que a aceleração angular α do conjunto vai ser no sentido anti-horário!

O momento de inércia da haste em relação a O é fácil de calcular porque temos o raio de giração dele em relação a O ! Podemos usar que

I h O = m h R h O 2

Quando ao disco, não tem momento no disco em relação ao centro dele ( A ) . Então o disco não gira em relação ao A ! Ele vai se mover ao redor do pino O apenas! Aí é muuuuito fácil; o momento de inércia dele vai ser como se a massa estivesse concentrada em A . Só usar a definição de momento de inércia:

I d O = m d r d 2

- P h ⋅ r h - P d ⋅ r d = - m h R h O 2 α - m d r d 2 α

De novo, as forças são simplesmente os pesos: P h = m h g , P d = m d g .

Sabemos todos esses caras menos o α ! Então podemos calcular ele. Usando g = 9,81   m/s 2 .

- 14,715   Nm - 47,088   Nm = - 0,84375   kg m 2 ⋅ α - 2,8800   kg  m 2 ⋅ α

α = 16,597   rad/s 2

Ótimo! Agora é só voltar na versão linear: F O - m h g - m d g = - m h r h α - m d r d α

α = 16,597   rad/s 2               →               F 0 = 32,779   N

Caso A acabou! Vamos pro Caso B .

Passo 4

O Caso B vai ser quase a mesma coisa, mas temos uma diferença crucial: o conjunto agora em velocidade angular ω ao redor do ponto O ! Não se confunda quanto a isso! O disco não está girando ao redor de A !

Diagrama de corpo livre.

Vamos ver o que a dinâmica linear nos diz:

∑ F e x t = m h a c p , h + m d a c p , d

As acelerações aqui são centrípetas! O movimento no Caso B está totalmente perpendicular à ação das forças. Então elas só estão atuando na mudança de direção! E como o centro de rotação está em O , o sinal é positivo, porque as acelerações apontam para cima.

Podemos usar a fórmula para aceleração centrípeta, a c p = ω 2 r !

F 0 - P h - P d = m h ω 2 r h + m d ω 2 r d

As forças são os pesos ( P h = m h g , P d = m d g ) , então temos duas incógnitas. O F O que queremos descobrir e essa velocidade angular ω aí. Dessa vez, a dinâmica angular não vai nos ajudar tão bem, porque nela aparece α , não ω .

O jeito mais fácil para acharmos ω é olhando o balanço de energia!

Passo 5

A questão diz que não tem atrito. Então temos conservação de energia! Parte da energia potencial gravitacional que o conjunto tem no Caso A vai virar energia cinética no Caso B (a força da gravidade acelera o conjunto, fazendo trabalho).

Escrevendo isso pra fazermos conta, a variação da energia potencial gravitacional do conjunto, Δ U , vai ser a variação de energia cinética, Δ K .

Δ U = Δ K

Para o Δ U , só precisamos nos ligar na altura de cada parte do conjunto em relação a O ! O centro de massa da haste varia uma altura r h = 250   mm . E o disco varia r d = 600   mm .

Δ U = m h g r h + m d g r d = 61,803   J

A variação de energia cinética é mais fácil ainda! Todo mundo estava parado quando o conjunto estava horizontal. E agora todo mundo está com velocidade ω ! Aproveita que já deduzimos os momentos de inércia no Passo 3 .

Δ K = 1 2 I h O ω 2 + 1 2 I d O ω 2 = 1 2 m h R h O 2 ω 2 + 1 2 m d r d 2 ω 2

Δ K = 1,861875   kg  m 2 ⋅ ω 2

Agora só substituir em Δ U = Δ K !

61,803   J = 1,861875   kg  m 2 ⋅ ω 2

ω 2 = 33,194   rad 2 /s 2

Nem precisa fazer a raiz quadrada! É esse cara mesmo que a gente quer!

Use ω 2 em F 0 - P h - P d = m h ω 2 r h + m d ω 2 r d :

F 0 = 346,463   N

Resposta

Força em O imediatamente após a liberação do conjunto:

F 0 = 32,779   N

Força em O quando o conjunto passa pela posição vertical:

F 0 = 346,463   N

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