Enunciado

Desenvolva uma expressão para a transmissibilidade T para o sistema da figura. Essa relação é definida como a força máxima transmitida à base dividida pela amplitude F 0 da função de forçamento. Expresse sua resposta em termos de ξ ,   ω ,   ω n e do fator de amplificação M .

Passo 1

Dados da questão:

  • Massa: m .
  • Rigidez da mola: k
  • Coeficiente de amortecimento: c
  • Forçamento: F = F 0 sen ⁡ ω t

Uma massa recebe um forçamento F sobre ela. A base resiste com forças F k e F c relacionadas a suas propriedades elásticas e de amortecimento.

Queremos descobrir a razão T entre a força máxima na base e a amplitude de F .

Passo 2

Primeiro, vamos achar a equação do movimento.

Escolha uma posição de referência e aí tome um deslocamento y qualquer. Vamos usar como referência a posição de equilíbrio e considerar o movimento para baixo como positivo!

Como estamos usando a posição de equilíbrio, não precisa se preocupar com peso nem nada disso porque a mola já da conta do recado, equilibrando.

A dinâmica fica:

∑ F e x t = m y ¨

F - F k - F c = m y ¨

A mola gera uma força elástica F k = k y e a o amortecedor resiste à variação de velocidade com F c = c y ˙ . Substituindo isso e F = F 0 sen ⁡ ω t

m y ¨ + c y ˙ + k y = F 0 sen ⁡ ω t

Ótimo! Temos a equação do movimento e ela está na forma mais simples. Podemos dividir pela massa e aí usar a frequência natural ω n 2 = k / m e o fator de amortecimento ξ = c / ( 2 m ω n ) :

y ¨ + 2 ξ ω n y ˙ + ω n 2 y = F 0 m sen ⁡ ω t

Agora que sabemos do que estamos tratando, vamos achar o que a questão pede!

Passo 3

Para calcular o tal T , precisamos saber a força máxima exercida sobre a base. A força F b transmitida para a base em algum instante t de tempo é

F b = F k t + F c t

F b = k y ( t ) + c y ˙ ( t )

Como nossa equação do movimento está na forma usual dela, sabemos que a deslocamento y t em regime permanente toma forma

y p t = X sen ⁡ ( ω t + ϕ )

Estamos olhando somente o permanente porque é geralmente o que interessa para esse conceito aí de transmissibilidade. Tá, continuando:

F b = k X sen ⁡ ( ω t + ϕ ) + c X ω cos ⁡ ( ω t + ϕ )

Queremos o valor máximo F b , m a x desse cara! Aqui tem um truque bem legal. Quando tiver senos e cossenos com mesmo argumento (mesmo carinha dentro do parênteses), você pode assumir que de algum jeito dá pra escrever assim:

k X sen ⁡ ( ω t + ϕ ) + c X ω cos ⁡ ( ω t + ϕ ) = A sen ⁡ ( ( ω t + ϕ ) + α )

E pra que fazer isso? Porque é fácil ver quem é o valor máximo de A sen ⁡ ( ( ω t + ϕ ) + α ) ! É A !!

F b , m a x = A

Vamos achar A !

Passo 4

Expanda A sen ⁡ ( ( ω t + ϕ ) + α ) com fórmula pra soma de arcos:

A sen ⁡ ( ( ω t + ϕ ) + α ) = A sen ⁡ ( ω t + ϕ ) cos ⁡ ( α ) + A sen ⁡ ( α ) cos ⁡ ( ω t + ϕ )

Compare com a expressão original que você tem: k X sen ⁡ ( ω t + ϕ ) + c X ω cos ⁡ ( ω t + ϕ ) . Pra essa maluquice funcionar (ser igual), é preciso que

A cos ⁡ ( α ) = k X             e             A sen ⁡ ( α ) = c X ω

Agora eleva tudo ao quadrado e soma!

A 2 cos 2 ⁡ ( α ) + A 2 sen ⁡ ( α ) = k X 2 + c X ω 2  

F b , m a x = A = k X 2 + c X ω 2 = | X | k 2 + c 2 ω 2

Ótimo! Agora vamos só dar uma ajeitada. A questão pede o resultado segundo ξ ,   ω ,   ω n e o fator de amplificação M .

Esse fator M é a razão entre X (amplitude do deslocamento) e F 0 / k (amplitude em um deslocamento com forçamento fixo F 0 .

M = X F 0 / k           →           X = M F 0 k

Vamos usar também   k = m ω n 2 e c = 2 m ω n ξ :

F b , m a x = | M | F 0 k m 2 ω n 4 + 4 m 2 ω n 2 ξ 2 ω 2

F b , m a x = | M | F 0 k m ω 2   1 + 4 ξ 2 ω 2 ω n 2

E como m / k = 1 / ω n 2

F b , m a x = | M | F 0   1 + 2 ξ ω ω n 2

FINALMENTE a gente calcula o T que a questão quer:

T = F b , m a x F 0 = | M | 1 + 2 ξ ω ω n 2

Resposta

Transmissibilidade:

T = | M | 1 + 2 ξ ω ω n 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O sistema do Prob. 8/46 é repetido aqui. Se a barra curva A B possui agora uma massa m 2 e um raio de giração k O em relação ao ponto O , determine expressões para a frequência natural não amortecida
O sistema do Prob. 8/45 é repetido aqui. Se o elemento de ligação A B possui agora uma masssa m 3 e um raio de giração k O em relação ao ponto O , determine a equação do movimento em termos da variáve
Determine a frequência natural f n para pequenas oscilações do corpo composto no plano vertical em torno do mancal O . Aproxime o corpo como uma barra esbelta de massa m / 5 e um disco semicircular de
O disco circular de massa m e momento de inércia I , em relação a seu eixo central, está soldado ao eixo de aço, que, por sua vez, está soldado ao bloco fixo. O disco recebe um deslocamento angular θ
A polia cilíndriva, maciça e homogênea possui uma massa m 1 e um raio r . Se a peça em B é submetida ao deslocamento harmônico indicado, determine a equação de movimento do sistema em termos da variáv