Enunciado

A haste AC é feita de um aço com tensão normal última de 410   M p a e tem uma seção transversal retangular uniforme de 6   x   12   m m . Está ligada ao apoio A e ao membro B C D em C , por pinos de 9,5   m m de diâmetro; enquanto que a barra B C D está ligada ao apoio B , por pino de 8 m m de diâmetro. Todos os pinos são de aço com tensão de cisalhamento última igual a 170   M p a e estão sujeitos a cisalhamento simples. Desejando-se um coeficiente de segurança de 3,25 , determine a maior carga P que pode ser aplicada em D . Notar que a haste A C não está reforçada em torno dos furos dos pinos.

Passo 1

Essa questão é bem interessante, e por isso precisamos tomar bastante cuidado com ela. Sabemos pelo enunciado os seguintes dados:

P i n o   e m   B   t e m   d i a m e t r o   d e   8 m m   e   τ u l t i m a = 170 M P a = 170 N m m 2

P i n o   e m   A   t e m   d i a m e t r o   d e   9,5   m m   e   τ u l t i m a = 170 M P a = 170   N m m 2

A   b a r r a     A C   t e m   s e ç ã o   d e   12 m m   x   6 m m   e   τ u l t i m a = 410 M P a = 410   N m m 2

Se temos os diâmetros e áreas das seções, assim como as tensões resistentes, podemos determinar a força máxima que cada seção pode suportar usando a seguinte equação:

τ u l t i m a = F u l t i m a A

Em que queremos determinar a força, sendo assim teremos que:

F u l t i m a = τ u l t i m a × A

Fazendo isso para todas as nossas estruturas teremos que:

  • O pino em B é normal, logo usamos a nossa fórmula normalmente também.

F u l t i m a = 170 × π 8 2 4 = 8545   N

  • Pino em A
  • O pino em A é normal, logo usamos a nossa fórmula normalmente também.

    F u l t i m a = 170 × π 9,5 2 4 = 12050   N

  • Barra AC
  • Esse tem uma peculiaridade que é tirarmos da seção solicitada a área do parafuso, ou seja, se temos um parafuso de 9,5 mm em uma chapa de espessura 6mm, precisamos descontar essa área na resistência, logo usamos a nossa fórmula, teremos:

    F u l t i m a = 410 × ( 12 × 6 - 9,5 × 6 ) = 6150   N

    Mas vale lembrar que queremos um fator de segurança de 3,25 , e sabemos que podemos escrever a nossa fórmula com o fator de segurança da seguinte maneira:

    F S = F u l t i m a F a p l i c a d a

    Como queremos a força aplicada podemos definir como:

    F a p l i c a d a = F u l t i m a F S

    Calculando para cada pino teremos que:

  • Pino em B
  • F a p l i c a d a = F u l t i m a F S = 8545 3,25 = 2629   N

  • Pino em A
  • F a p l i c a d a = F u l t i m a F S = 12050 3,25 = 3708   N

  • Barra AC
  • F a p l i c a d a = F u l t i m a F S = 6150 3,25 = 1892   N

    Ou seja, agora já sabemos as forças que as estruturas suportam.

    Passo 2

    Para sabermos quanto age em cada estrutura precisamos determinar o valor das reações de apoio, e para isso precisamos olhar a nossa estrutura:

    Olha que macete legal, que a barra AC está ligada por pinas a barra BCD, e como no enunciado diz que no ponto C não tem nenhum tipo de reforço, então podemos concluir que não há transferência de momentos fletores entres as barras. Ou seja, se eu fizer um somatório de momentos no ponto C vindo a partir do ponto A, esse somatório de momentos tem que dar zero, porque pensa só, se a barra AC pode girar em trono do parafuso C, então ali não temos momento fletor, fazendo isso teremos que:

    ∑ M C a   p a r t i r   d e   A = 0 = H A × 200 - V A × 150

    H A × 200 - V A × 150 = 0

    V A = H A × 200 150 = 4 H A 3

    Fazendo agora o somatório de momentos no ponto A teremos que:

    ∑ M A = 0 = - P × 150 + 100 + H B × 200

    - P × 150 + 100 + H B × 200 = 0

    H B = P × 250 200 = 5 P 4

    Com isso encontramos que:

    H A = 5 P 4

    E sabendo H A conseguimos saber quanto vale V A , que é dado pela equação do primeiro somatório.

    V A = 4 H A 3 = 4 5 P 4 3 = 5 P 3

    Para calcular V B fazemos o somatório de forças verticais:

    ∑ F v = 0 = V B + V A - P

    P = 5 P 3 + V B

    V B = P - 5 P 3 = - 2 P 3

    Agora precisamos definir qual a carga máxima que age nos pinos e na barra, para isso precisamos somar os vetores de cada um dos pinos, com isso teremos que:

  • Pino em B
  • As forças que agem no pino em B são:

    V B = 2 P 3

    H B = 5 P 4

    F B = 2 P 3 2 + 5 P 4 2 = 4 P 2 9 + 25 P 2 16 = 289 P 144 = 17 P 12

    Como nosso objetivo é determinar a força em P, podemos fazer:

    P = 12 F B 17

  • Pino em A que também vai dar os esforços da barra AC
  • As forças que agem no pino em A são:

    V A = 5 P 3

    H A = 5 P 4

    F A = 5 P 3 2 + 5 P 4 2 = 25 P 2 9 + 25 P 2 16 = 625 P 144 = 25 P 12

    Como nosso objetivo é determinar a força em P, podemos fazer:

    P = 12 F A 25

    Passo 3

    Verificando as estruturas teremos que:

  • Pino em B
  • F B = 2629   N

    P = 12 F B 17 = 12   .     2629 17 = 1856   N = 1,856   k N

  • Pino em A
  • F A = 3708   N

    P = 12 F A 25 = 12   .     3708 25 = 1780   N = 1,780   k N

  • Barra AC

F B D = 1892   N

P = 12 F A 25 = 12   .     1892 25 = 908   N = 0,91   k N

E agora é simples, a carga que deve ser aplicada para respeitar as condições impostas pelo problema é aquela que for a menor entre as verificadas, além do mais, qualquer carga que for maior vai romper o elo mais fraco, enquanto a carga menor garante o elo mais fraco e não afeta os mais fortes, sendo assim a carga que deve ser usada é:

P = 0,91   k N

Resposta

P = 0,91   k N

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Um tubo cilíndrico de poliestireno de parede fina E = 3,1G P a , com 3,2m m de espessura e uma placa rígida circular (é ostrada apenas parte dela), são usadas para suportar uma barra de aço A B ( E =
Para a barra e o suporte do Prob 2.18, determinar a maior carga P admissível, se a deflexão nos pontos A e B não devem exceder a 0,108m m e 0,305m m , respectivamente.
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Um tubo cilíndrico de poliestireno de parede fina E = 3,1G P a , com 3,2m m de espessura e uma placa rígida circular (é ostrada apenas parte dela), são usadas para suportar uma barra de aço A B ( E =
Para a barra composta do Prob 2.9, determinar a maior carga P admissível se a deformação total da barra não deve exceder a 1mm e a tensão normal ser no máximo igual a 180 Mpa