Enunciado

Se a haste do pistão do cilindro hidráulico C tem uma velocidade constante para cima de 0,5 /s, calcule a aceleração do ponto D para a posição que θ é igual a 45 ° .

Passo 1

Galera, primeiro vamos organizar todos os dados do enunciado e fazer um esboço do que realmente importa no mecanismo. Ah, e não esquece de passar tudo que está em milímetros para metros!

Vamos começar calculando a velocidade angular da barra. Isso pode ser feito pelo método do Centro Instantâneo C I , como pode ser visto pela figura.

ω = v A r A / C I = 0,5 - 0,3 c o s 45 = - 2,36 k ^   r a d / s

O valor negativo para a distância r A / C I acontece por que esse é um valor que é medido do C I até o ponto aonde estamos avaliando a velocidade. Sendo assim, aponta para a esquerda e por isso, consideramos negativo. A velocidade no ponto A aponta para cima, e por isso, consideramos positivo. Fazendo isso, vamos encontrar já qual vai ser o sinal da velocidade angular!

(Você pode também fazer a regra da mão direita e vai ver que a velocidade angular do ponto A em relação ao C I está apontando para dentro da página, sentido horário de rotação, e por isso é negativa ;) ).

Passo 2

Bom, agora vamos analisar o mecanismo. Esta etapa vai ser muito importante!! Vamos em tópicos:

-Sabemos que B está limitado ao curso do trilho, logo sua aceleração está obrigatoriamente na horizontal.

-Já o ponto A se move ao longo do pistão com velocidade constante, logo não há aceleração.

-Portanto o sistema não possui nenhuma aceleração na componente vertical. Isto limita a aceleração no ponto D na componente horizontal!

Beleza? Por isso é importante desenhar o diagrama e identificar o tipo de apoio em cada ponto!!

Passo 3

Como sabemos que a aceleração em A vale 0 , vamos usar a equação da aceleração relativa para os pontos A e D e assim encontrar a aceleração de D ...

a D = a A + a D / A n + a D / A t

Onde:

a → D / A n = ω → × ω → × r → D / A

Se liga que r → D / A indica a distância que vai de A até D , portanto:

r → D / A = - 0,1 c o s 45 º i ^ + 0,1 s e n 45 º j ^ = ( - 0,0707 i ^ + 0,0707 j ^ )   m

Voltando:

a → D / A n = - 2,36 k ^ × ( - 2,36 k ^ × - 0,0707 i ^ + 0,0707 j ^ )

- 2,36 k ^ × ( 2,36 ( - k ^ ) × 0,0707 ( - i ^ + j ^ )

Se liga nas regrinhas para aplicar o produto vetorial nesses caras!

- 2,36 k ^ × 0,167 × j ^ + i ^

2,36 - k ^ × 0,167 × j ^ + i ^

0,394 i ^ - j ^

a → D / A n = 0,394 i ^ - 0,394 j ^   m / s 2

E para a aceleração tangencial temos:

a → D / A t = α → A D × r → D / A

Não sabemos qual o valor da aceleração angular α → A D , mas sabemos que ela vai estar apontando para dentro ou para fora da página, logo:

α → A D = α A D k ^

Substituindo e resolvendo...

a → D / A t = α A D k ^ × - 0,0707 i ^ + 0,0707 j ^

α A D k ^ × 0,0707 ( - i ^ + j ^ )

0,0707 α A D - j ^ - i ^

a → D / A t = - 0,0707 α A D i ^ - 0,0707 α A D j ^

Agora, vamos substituir os valores encontrados na equação da aceleração relativa, lembrando que a aceleração de D certamente está no eixo horizontal e que A não possui aceleração!

a D = a A + a D / A n + a D / A t

a D i ^ = 0 + 0,394 i ^ - 0,394 j ^ - 0,0707 α A D i ^ - 0,0707 α A D j ^

Decompondo nas direções, temos o sistema:

a D i ^ =   0,394 i ^ - 0,0707 α A D i ^

0 =   - 0,394 j ^ + α A D - 0,0707 j ^

Da segunda equação temos que:

α A D = - 0,394 0,0707

α A D = - 5,57

O que nos indica portanto que a aceleração angular α → A D será

α → A D = α A D k ^ = - 5,57 k ^ r a d / s 2

Beleza, mas a questão pediu para a gente encontrar a aceleração do ponto B , para isso, vamos substituir α A D = - 5,57 na primeira equação:

a D = 0,394 - 0,0707 × ( - 5,57 )

a D = 0,788   m / s 2

Como encontramos um valor positivo, essa aceleração aponta para a direita!

Resposta

a D = 0,788   m / s 2

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