Enunciado

No instante mostrado, os carros A e B movem-se a velocidade escalares de 30   km/ h e 20 km/h, respectivamente. Se A está aumentando a sua velocidade escalar na razão de 400 km/h2 enquanto a sua velocidade escalar de B está reduzindo na razão de 800 km/h2, determine a velocidade e aceleração de B em relação a A.

Passo 1

Os carros A e B se movimentando podem ser tratados como partículas para esse caso. Então, para se determinar a velocidade e aceleração de B em relação a A é necessário aplicar as equações que relacionam as velocidades e acelerações absolutas e relativas das partículas.

V B =   V A +   V B / A

a B =   a A +   a B / A

Passo 2

Como as equações de movimento relativo entre duas partículas são vetoriais é necessário determinar as componentes de cada vetor. Pela representação da figura acima, conclui-se que V B tem a seguite direção.

Então,

V B =   - 20 sin ⁡ 30 ° x +   20 cos ⁡ 30 ° y

E o vetor V A tem componete somento na direção horizontal x, dado pela equação a seguir

V A =   - 30 x

Para as componentes de aceleração de A e B. o carro B está em trajetória curva logo, possui uma aceleração normal e tangencial. O modulo da aceleração normal de B pode ser determinado por

a B n = V B 2 ρ = 20 2 0,3 = 1333,3   k m / h 2

Sabendo que a aceleração normal está no sentido do centro da curva e aceleração tangencial tem modulo de 800 km/h2 e está nadireçao da velocidade de B. o vetor a B pode ser descrito na direção x e y sendo,

a B x = 1333,3 cos ⁡ 30 ° x + 800 sin ⁡ 30 ° x

a B y = 1333,3 sin ⁡ 30 ° y -   800 cos ⁡ 30 ° y

Como carro A possuir trajetória retilínea, o vetor aceleração a A só tem componete na direção x.

a A = - 400 x

Passo 3

Após todas as componentes de velocidade e aceleração determinadas é possível resolver o problema utilizando as equações velocidades e acelerações absolutas e relativas das partículas A e B.

Para a velocidade

V B =   V A +   V B / A

- 20 sin ⁡ 30 ° x +   20 cos ⁡ 30 ° y =   - 30 x +   V B / A

V B / A = - 20 sin ⁡ 30 ° + 30 x + 20 cos ⁡ 30 ° y

V B / A = 20 x + 17,32 y

V B / A =   20 2 + 17,32 2  

V B / A = 26,5 km/h

E a direção pode ser calulada por

θ =   tan - 1 ⁡ V B / A y V B / A x

θ =   tan - 1 ⁡ 17,32 20 = 40,9 °

Para a aceleração,

a B =   a A +   a B / A

1333,3 cos ⁡ 30 ° + 800 sin ⁡ 30 °   x + 1333,3 sin ⁡ 30 ° -   800 cos ⁡ 30 °   y =   - 400 x + a B / A  

a B / A = 1333,3 cos ⁡ 30 ° + 800 sin ⁡ 30 ° + 400   x +   1333,3 sin ⁡ 30 ° -   800 cos ⁡ 30 °   y  

a B / A = 1954,7   x +   - 26,154   y

a B / A =   1954,7 2 + ( - 26,154 ) 2

a B / A = 1955 Km/h2

E a direção pode ser calulada por,

θ =   tan - 1 ⁡ a B / A y a B / A x

θ =   tan - 1 ⁡ - 26,154 1954,7 = 359,233 °

Resposta

A velocidade de B em relação a A V B / A = 20 i + 17,32 j , e tem direção θ = 40,9 ° e seu modulo 26,5   k m / h

A aceleração de B em relação a A a B / A = 1954,7 i - 26,154 j , e tem direção θ = 359,233 ° e seu modulo 1955 Km/h2

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