Enunciado

No instante mostrado quando os crankpins de um motor de dois cilindros passam pelo plano horizontal y - z , a haste A está sob uma compressão de 1,8   k N e a haste B está sob uma compressão de 0,8   k N . Determine o momento (torque) exercido pelas duas hastes em torno do eixo da manivela z . Para fins de projeto, também é necessário ter a expressão vetorial para os momentos das duas forças em torno de um dos rolamentos principais em O.

Passo 1

Fala galera! Tudo certo? Vamos dividir a resolução em algumas etapas, beleza? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede duas coisas:

i) Determinar o momento (torque) das duas hastes em torno do eixo z ( M z → );

ii) Determinar a expressão vetorial para os momentos das duas forças em torno de um dos rolamentos principais em O.

Beleza, então vamos tentar entender melhor esse problema. Os crankpins estão agindo girando o eixo z , o que significa que a linha de ação das forças está na mesma direção que os crankpins. Sendo assim, partir do comprimento deles e da distância de sua extremidade inferior ao eixo z , podemos encontrar o ângulo entre a linha de ação e o eixo z :

cos ⁡ θ = 80 230

θ = cos - 1 ⁡ 80 230

θ = 69,65 °

Show! Agora fica fácil determinar o momento das forças ao redor do eixo z .

Para a haste A, a componente vertical da força de compressão de 1,8   k N , realizará um momento no mesmo sentido indicado na figura:

M A = 1,8 k N * sen ⁡ 69,65 ° * 80 m m

M A = 135   k N ∙ m m = 135   N ∙ m

Para a haste B, a componente vertical da força de compressão de 0,8   k N , realizará momento no sentido contrário ao indicado:

M B = 0,8 k N * sen ⁡ 69,65 ° * 80 m m

M A = 60   k N ∙ m m = 60   N ∙ m

Sendo assim, a resultante de momento em torno de z é dada por:

M z = M A - M B

M z = 135 - 60   N ∙ m

M z = 75   N ∙ m

Tranquilinho né? Bora para a parte 2 da nossa resolução então.

Passo 2

Agora precisamos analisar os momentos exercidos pelas forças em torno de O. Neste caso, tanto as componentes verticais quando as horizontais realizarão momento. Vamos começar definindo as expressões vetoriais para  F A → e F B → :

F A → = - 1,8 sen ⁡ 69,65 ° i ^ + 1,8 cos ⁡ 69,65 ° j ^   k N

F A → = - 0,8 sen ⁡ 69,65 ° i ^ - 0,8 cos ⁡ 69,65 ° j ^   k N

Feito isso, para calcular o momento falta apenas os vetores distância de cada uma das forças dos seus pontos de aplicação A e B até o ponto O.

r A → = 80 j ^ + 130 k ^   m m

r B → = - 80 j ^ + 260 k ^   m m

E o momento em torno de O é dado por:

M O → = r A → × F A → + r B → × F B →

M O → = 80 j ^ + 130 k ^ × - 1,8 sen ⁡ 69,65 ° i ^ + 1,8 cos ⁡ 69,65 ° j ^ + - 80 j ^ + 260 k ^ × - 0,8 sen ⁡ 69,65 ° i ^ - 0,8 cos ⁡ 69,65 ° j ^   k N ∙ m m

M O → = 135,01 k ^ - 219,4 j ^ - 81,37 i ^ - 60,01 k ^ - 195,02 j ^ + 72,33 i ^   k N ∙ m m

M O → = - 9,04 i ^ - 414,42 j ^ + 75 k ^   N ∙ m

Ufa! Essa já foi hein? Partiu pra próxima!

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Resposta

M z = 75   N ∙ m

M O → = - 9,04 i ^ - 414,42 j ^ + 75 k ^   N ∙ m

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