Enunciado

Um jato de ar em alta velocidade escoa do bocal A com 40   m m de diâmetro a uma velocidade v de 240   m / s e atinge a pá O B , mostrada em sua vista lateral. A pá e sua extensão em ângulo reto têm massas desprezíveis comparadas com o cilindro preso de 6   k g e são livremente articuladas em torno de um eixo horizontal através de O . Calcule o ângulo θ assumido pela pá com a horizontal. A massa específica do ar nas condições presentes é 1,206   k g / m 3 . Declare quaisquer hipóeses utilizadas.

Passo 1

Vamos começar calculando a taxa de escoamento de massa do jato de ar:

m ' = ρ A v = 1,206 π 0,040 2 2 240 = 0,364   k g / s

E agora podemos calcular a força resultante sobre esse jato:

∑ F = m ' Δ v

Dessa vez o módulo da variação de velocidade é um pouco mais complicado de calcular, porque os dois vetores (final e inicial) não são paralelos.

Vamos fazer um desenho ilustrando a situação:

A variação que estamos procurando é o módulo do vetor preto ( v → 2 - v → 1 ) . Como o módulo de todos esses vetores é igual a v , ficamos com a seguinte expressão:

Δ v = v → 2 - v → 1 = v sen ⁡ θ 2 + v sen ⁡ θ 2

Δ v = 2 v sen ⁡ θ 2

E então:

∑ F = 0,364   2 v sen ⁡ θ 2 = 0,364 2 0 , 240 sen ⁡ θ 2 = 174,7 sen ⁡ θ 2

Passo 2

Agora, como estamos interessados no ângulo θ , precisamos pensar em termos de torque.

O torque gerado pela força F que acabamos de calcular, e que age na direção de ( v → 2 - v → 1 ) , é:

M 1 = F cos ⁡ θ 2 0 , 1 0 0 sen ⁡ θ = 174,7   sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 0 , 1 0 0 sen ⁡ θ

E o torque gerado pelo peso do cilindro de 6   k g :

M 2 = - 6 9,81 0,240 sen ⁡ θ = 14,126 sen ⁡ θ

E o sinal negativo aparece porque o peso do cilindro favorece a rotação no sentido oposto ao do jato de ar.

Passo 3

Quando o sistema estiver em equilíbrio, vamos ter a seguinte igualdade:

M 1 + M 2 = 0

174,7   sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 0 , 1 0 0 sen ⁡ θ - 6 9,81 0,240 sen ⁡ θ = 0

Usando o fato de que:

sen ⁡ 2 x = 2 sen ⁡ x c o s ⁡ ( x )

sen ⁡ x 2 = sen ⁡ x 2 cos ⁡ x 2

Então:

87,35 sen ⁡ θ 0,100 sen ⁡ θ = 14,13 ( sen ⁡ θ )

sen ⁡ ( θ ) = 8,735 14,13

θ = 38,2 °

E a única hipótese “não-usual” que utilizamos nessa conta foi a ideia de que o jato de ar se comporta exatamente como no nosso desenho, sem ser espalhado para outras direções.

Resposta

A pá assume um ângulo de 38,2 ° com a horizontal.

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