Enunciado

Um jogador arremessa uma bola de beisebol horizontalmente em direção a um radar de mão, tipo pistola, para medição de velocidade. A bola de beisebol tem uma massa de 146   g e uma circunferência de 232   m m . Se a velocidade em x = 0 é v 0 = 150   k m / h , estime a velocidade como uma função de x . Assuma que o arrasto aerodinâmico horizontal sobre a bola de beisebol é dado por A = C A 1 2 ρ v 2 S , onde C A é o coeficiente de arrasto, ρ é a massa específica do ar, v é a velocidade, e S é a área da seção transversal da bola de beisebol. Use um valor de 0,3 para C A . Despreze a componente vertical do movimento, mas comente sobre a validade desta hipótese. Avalie sua resposta para x = 18   m , que é a distância aproximada entre a mão do arremessador e a base principal.

Passo 1

Pessoal, como a gente vai desprezar o movimento vertical, a única aceleração da bola será causada pela força de arrasto aerodinâmico A . Consideramos o coeficiente de arrasto C A = 0,3 , a massa específica do ar ρ = 1,2   k g / m 3 , e a área da seção transversal da bola S calculada assim:

S = π r 2 = π 2 π r 2 π 2 = π 232   m m 2 π 2 = 4280   m m 2 = 4280 10 - 6   m 2

Então, a força de arrasto será:

A = C A 1 2 ρ v 2 S = 0,3 1 2 1,2 v 2 4280 10 - 6

A = 7,7 10 - 4   v 2

Aplicando a Segunda Lei de Newton, obtemos uma expressão para a aceleração da bola em termos de sua velocidade:

- A = m a

- 7,7 10 - 4 v 2 = 0,146   a

a = - 5,3 10 - 3   v 2

Passo 2

Como temos a em função de v , podemos utilizar a seguinte equação diferencial para obter v em função de x :

v   d v = a   d x

v   d v = - 5,3 10 - 3   v 2   d x

1 v   d v = - 5,3 10 - 3   d x

Integrando os dois lados, obtemos:

∫ v 0 v 1 v   d v = - 5,3 10 - 3 ∫ 0 x d x

ln ⁡ v - ln ⁡ v 0 = - 5,3 10 - 3   x

ln ⁡ v v 0 = - 5,3 10 - 3   x

v v 0 = e - 5,3 10 - 3   x

v = v 0 e - 5,3 10 - 3   x

Passo 3

Considerando a velocidade inicial v 0 = 150   k m / h , para um deslocamento de x = 18   m a velocidade teria mudado para:

v = 150   e - 5,3 10 - 3 18 = 136,3   k m / h

Agora, será mesmo que é uma boa hipótese desprezar a velocidade vertical? Vamos verificar isso para esses valores específicos de velocidade inicial e deslocamento. No pior dos casos, considerando uma velocidade horizontal constante v x = 136,3   k m / h = 37,86   m / s em todo o trajeto de 18   m , o tempo t pode ser dado por:

x = v 0 t

18 = 37,86   t

t = 0,48   s

Com esse tempo, a velocidade vertical v y atingiria:

v y = v 0 y - g t = 0 - 9,8 0,4 8 = - 4,704   m / s

v y = 1 7   k m / h

Então, no pior dos casos, o módulo da velocidade final seria dado por:

v = 136,3 2 + 17 2 = 137,4   k m / h

Ou seja, a mudança em relação ao valor calculado quando desprezamos o movimento vertical não chegou nem a 1 % . Isso significa que, pelo menos para esses valores de v 0 e x considerados, considerar somente o movimento horizontal é uma hipótese muito válida.

Resposta

v = v 0 e - 5,3 10 - 3   x

v = 136,3   k m / h

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