Enunciado

Localize o centroide da área mostrada na figura por integração direta. (Cuidado: Observe cuidadosamente o sinal correto da raiz envolvida.)

Passo 1

Sabendo que as equações para encontrar o centroide é dado por:

  x - =   ∫ x d A A   e   y - = ∫ y d A A

Dessa maneira, vamos primeiro encontrar a área do problema.

Passo 2

Mas antes vamos escolher um elemento de área, para assim podermos integrar, com isso:

Pronto! Escolhido o elemento de área vamos integrar ele em relação a y e temos a nossa área. Dessa maneira:

A = ∫ d A = ∫ 0 a x d y

Agora precisamos encontrar a função que corresponde a x, dessa maneira, como é um semiciclo ele pode ser descrito por:

x - a 2 + y 2 = a 2

Isolando x, temos:

x = a - a 2 - y 2

Passo 3

Tendo a função que descreve o nosso problema fica mais fácil de integrar, dessa maneira a área é dada por:

A =   ∫ 0 a x d y =   ∫ 0 a a - a 2 - y 2 d y

Agora basta resolvermos essa integral que teremos nossa área, sendo que:

A primeira parte da integral é dada por:

A 1 = ∫ 0 a a d y =   a 2

Porém a segunda parte é:

A 2 = ∫ 0 a ( a 2 - y 2   ) d y

Aplicar integral por substituição: y = a s i n ⁡ ( u ) .

A 2 = ∫ 0 π 2 a 2 cos 2 ⁡ u d u

Lembre-se da identidade: cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

A 2 = ∫ 0 π 2 a 2 1 + cos ⁡ 2 u 2 d u = a 2 2 ∫ 0 π 2 1 + cos ⁡ 2 u d u  

A 2 = a 2 2   u + 1 2 sin ⁡ 2 u π 2 0

A 2 = π 4 a 2  

Portanto:

A = A 1 - A 2 = a 2 - π 4 a 2  

Passo 4

Ante de aplicar a equação para achar o centroide na coordenada x, vamos resolver a integral:

∫ x c d A

Depois é só dividir pela área que teremos o ponto.

Cuidado! Para encontrarmos o centroide em relação a x, teremos que ter um cuidado, o ponto X na nossa delimitação da área está no meio dos extremos, ou seja,

x c = x 2

Com isso,

∫ x c d A = ∫ 0 a x 2 x d y  

Logo,

∫ x c d A = ∫ 0 a x 2 2 d y  

Substituindo a nossa função na integral, teremos:

∫ 0 a x 2 2 d y = 1 2 ∫ 0 a a - a 2 - y 2 2 d y =

= ∫ 0 a a 2 - a a 2 - y 2 - y 2 2 d y =

Resolvendo esta integral vamos ter:

= a 2 y - a 2 y a 2 - y 2 + a 2 sin - 1 ⁡ y a - y 3 6 a 0 = 5 6 - π 4 a 3

Pronto! Só substituir na equação, se tiver alguma dificuldade na resolução das integrais recomendo que revise o assunto de substituição em cálculo que encontra na própria plataforma. Agora vamos substituir:

x - = ∫ x c d A A = 5 6 - π 4 a 3 a 2 - π 4 a 2 = 10 - 3 π 3 ( 4 - π ) a = 0,223 a

Passo 5

Vamos encontrar o centroide em relação a coordenada y.

Com isso, antes de aplicar a equação para achar o centroide na coordenada y, vamos resolver a integral:

∫ y c d A

Depois é só dividir pela área que teremos o ponto.

∫ y c d A = ∫ y   x   d y d x = ∫ 0 a ( a y - y a 2 - y 2 ) d y  

Logo,

∫ y c d A = a y 2 2 + 1 3 a 2 - y 2 3 a 0 = a 3 6

Passo 6

Agora substituindo na equação do centroide, temos:

y - = ∫ y d A A = a 3 6 a 2 - π 4 a 2 = 2 a 3 4 - π = 0,777 a

Resposta

x - = 0,223 a ;   y - =   0,777 a  

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